Nejlepší odpověď
2 + 2 =? se zdá být jedním z nejjednodušších problémů v matematice a pravděpodobně jedním z prvních, na které jste kdy narazili. Pokud má Kate 2 jablka a Matt jí dá další 2 jablka, pak má 4 jablka. Je zřejmé.
Ale co kdybychom vám řekli, že 2 + 2 =? narazil i na některé z nejchytřejších matematiků, protože se nemusí nutně rovnat 4? Pravděpodobně se divíte, jak je to možné. Důkazem je: soubor logických kroků získaných dedukcí (neděláme tedy žádné velké skoky) v logice, pokud to není z definice), a tedy empiricky (z poskytnutých důkazů), což má za následek přímou ekvivalenci (je mimo jiné typy rovnocennosti, ale primárně v permutaci multiplikativní / aditivní & negativní / pozitivní / sudé / liché. .. meta-matematicky) stavů, že „nejkratší vzdálenost je (v absolutních číslech) buď nekonečno, nula a / nebo také jedna.
Opravdu, pokus o„ důkaz “2 + 2 = 5 je založeno na zkresleném typu trigonometrie, který byl v podstatě zdrojem dnešního kalkulu (zkuste nakreslit tangens nebo sekans, aniž byste narazili na myšlenku kalkulu „derivát a integrál“), a ve skutečnosti je výsledek jakékoli aditivní ekvivalence jakýchkoli dvou čísel „k podobnosti s jakýmkoli číslem, (b protože měření přepony dané strany je v podstatě multiplikativní, tedy částečně iracionální).
(Což mě přemýšlí … existuje ekvivalent 2 * 2 = 5? a odpověď je hlasitá, ano! Nejprve však „důkaz“, jak jej napsal Charles Seife.)
Nechť a = b a a a b = 1. Nyní se podívejte na toto …
b ^ 2 = ab … (ekv. 1)
Protože a se rovná sobě, je zřejmé, že
a ^ 2 = a ^ 2 … (ekv. 2)
Odečtěte rovnici 1 od rovnice 2. Tím se získá
a ^ 2-b ^ 2 = a ^ 2-ab. .. (rovnice 3)
Můžeme faktorizovat obě strany rovnice; (a ^ 2) -ab se rovná a (a-b). Podobně a ^ 2-b ^ 2 se rovná (a + b) (a – b) (zde se nic neděje. Toto tvrzení je naprosto pravdivé. Připojte čísla a uvidíte sami!) Dosazením do rovnice 3, my get
(a + b) (ab) = a (ab) … (ekv. 5)
Zatím tak dobře. Nyní rozdělte obě strany rovnice o (ab) a dostaneme
a + b = a … (ekv. 5)
b = 0 … (ekv. 6)
Ale na samém začátku tohoto důkazu jsme nastavili b na 1, takže to znamená, že
1 = 0 … (ekv. 7)
… Každopádně, dostat se tak daleko nám dává podstatu důkazu, později v důkazu Charles Seife dále dokazuje, že Winston Churchill byl mrkev! pokud chcete vědět, jak je to možné, doporučuji si přečíst knihu.
Z rovnice 7 přidejte číslo na obě strany a získejte jej rovné jakémukoli jinému číslu, jednomu většímu než je on. p>
Násobení rovnice 7 po přidání a lze získat: libovolné číslo se rovná jakémukoli jinému číslu.
Proto je koncepčně libovolné číslo rovno nule a teoreticky to zahrnuje nekonečno. Ale to je také důvod, proč když vydělíte nulou, je to „Nedefinováno.“ Což se následně děje v této rovnici … stačí dosadit 1 do rovnice 3 a jeden uvidí, že vydělujeme nulou v rovnici 5.
To je to, co vedlo k vynálezu počtu. Opravdu, odtud to segways do Hilbertova prostoru … ale to je nejlepší ponechat pro další vstup, doufejme, na skutečný předmět kvantizace .
To je vše, na co mám čas …
TOTO DŮKAZ JE NESPRÁVNĚ DEFINICE, ale poskytuje dobrý nástroj, proč definujeme věci v matematice tak, jak udělat.
Odtud by měla být dobrá otázka (na základě mé předchozí tečny):
Má 1/3 + 1/3 + 1/3 = 1? Nebo se rovná jen opakování nulového bodu devět? Zdroj: Zero: Biography of a Dangerous Idea od Charlese Seife
Odpověď
Začnu tím, že vezmu základnu 10.
Peano tyto pokusy představil formalizovat aritmetiku. I když se neprokázalo, že jsou konzistentní, samy o sobě se za takové považují. I když normálně 0 nepovažuji za přirozené číslo, tento proces je o něco jednodušší, začněte definováním nuly jako prvního přirozeného čísla, tzn. 0 \ in \ mathbb {N}.
Peano poté definuje následující o rovnosti s přirozenými:
- Rovnost je symetrické . (tj. \ alpha = \ beta \ znamená \ beta = \ alfa)
- Rovnost je reflexivní . (tj. \ alpha = \ alpha pro všechny přirozené \ alpha)
- Rovnost je tranzitivní . (tj. pokud \ alpha = \ beta a \ beta = \ gamma, pak \ alpha = \ gamma)
- Přirozené hodnoty jsou uzavřeny pod rovností. (je-li \ alpha přirozené číslo a \ alpha = \ beta, \ beta je také přirozené číslo)
Nyní musíme zavést funkci nástupce, kterou je injective , (S (\ alpha) = S (\ beta) \ implikuje \ alpha = \ beta) \ text {označeno} S. Přirozené znaky jsou uzavřeny pod funkcí nástupce.Funkce nástupce má přirozené číslo a vydává svého nástupce. Tj. S (0) = 1 a S (1) = 2.
Neexistuje žádné číslo, jehož 0 je nástupcem.
Pomocí funkce nástupce můžeme určit první několik přirozených,
\ mathbb {N} = \ {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 \ ldots \}, kde \ mathbb {N} je interpretován jako sada. Z toho tedy vyplývá, že S (0) = 1, S (1) = 2, S (2) = 3, S (3) = 4.
Díky tomu můžeme definovat aritmetiku pomocí nástupnická funkce.
- Def. 01: \ alpha + 0 = 0 + \ alpha = \ alpha
- Def. 02: \ alpha + S (\ beta) = S (\ alpha + \ beta).
Čelíme tomuto bezohlednému problému 2 + 2, který trápí matematiky po staletí.
\ displaystyle 2 + 2 \ underbrace {=} \_ {\ text {podle def}} 2 + S (1) \ underbrace {=} \_ {\ text {by def2}} S (2 + 1) \ underbrace {=} \_ {\ text {podle def}} S (2 + S (0)) \ underbrace {=} \_ {\ text {podle def2}} S (S (2 + 0) ) \ underbrace {=} \_ {\ text {podle def1}} S (S (2)) \ underbrace {=} \_ {\ text {podle def}} S (3) \ underbrace {=} \_ {\ text { podle def}} 4.
\ tedy 2 + 2 = 4 \ blacksquare.