Nejlepší odpověď
#python
print(2**10000)
2844061536738951487114256315111089745514203313820202931640957596464756010405845841566072044962867016515061920631004186422275908670900574606417856951911456055068251250406007519842261898059237118054444788072906395242548339221982707404473162376760846613033778706039803413197133493654622700563169937455508241780972810983291314403571877524768509857276937926433221599399876886660808368837838027643282775172273657572744784112294389733810861607423253291974813120197604178281965697475898164531258434135959862784130128185406283476649088690521047580882615823961985770122407044330583075869039319604603404973156583208672105913300903752823415539745394397715257455290510212310947321610753474825740775273986348298498340756937955646638621874569499279016572103701364433135817214311791398222983845847334440270964182851005072927748364550578634501100852987812389473928699540834346158807043959118985815145779177143619698728131459483783202081474982171858011389071228250905826817436220577475921417653715687725614904582904992 4610286300815355833081301019876758562343435389554091756234008448875261626435686488335194637203772932400944562469232543504006780272738377553764067268986362410374914109667185570507590981002467898801782719259533812824219540283027594084489550146766683896979968862416363133763939033734558014076367418777110553842257394991101864682196965816514851304942223699477147630691554682176828762003627772577237813653316111968112807926694818872012986436607685516398605346022978715575179473852463694469230878942659482170080511203223654962881690357391213683383935917564187338505109702716139154395909915981546544173363116569360311222499379699992267817323580231118626445752991357581750081998392362846152498810889602322443621737716180863570154684840586223297928538756234865564405369626220189635710288123615675125433383032700290976686505685571575055167275188991941297113376901499161813151715440077286505731895574509203301853048471138183154073240533190384620840364217637039115506397890007428536721962809034779745333204683687 95868580237952218629120080742819551317948157624448298518461509704888027274721574688131594750409732115080498190455803416826949787141316063210686391511681774304792596709376
Odpověď
Základní věc, o desetinné je, že to je jen jeden z mnoho formulářů používaných k reprezentaci čísel. Je to však tak běžná forma, že mnoho lidí (bez vlastní viny) spojuje číslo se samotnou formou. A pokud dvě čísla mají dvě různé formy, pak to musí být různá čísla, že?
Ale co následující dvě čísla:
\ displaystyle {\ qquad \ frac {41217896017} {82435792034} \ quad \ text {and} \ quad \ frac {1} {2}?}
Zcela jiná reprezentace , ale provedením nezbytných výpočtů / zrušení téměř jistě uvěříte, že tyto dvě formy představují stejné číslo .
Proč?
Protože když se učíme zlomky, učíme se od velmi rané fáze, že dvě zlomky mohou mít stejný počet a že jsou v redukovaná forma , pokud čitatel a jmenovatel nemají společné faktory větší než 1.
A toho se držíme.
Jsme o tom přesvědčeni zkušenostmi a opakování této zkušenosti a k ověření této zkušenosti můžeme použít různé formy.
Ne tolik s „desetinnými místy“, natož další poziční formy.
Úhledná věc na desítkové reprezentaci čísel je, že pro většinu čísel (v určitém technickém smyslu) je desítková forma skutečně jedinečný (ale ve většině případů – ve stejném smyslu – je nepraktické zapisovat si ho do všech podrobností, řekněme to tak).
Existuje však několik výjimek. Pod pojmem „málo“ mám na mysli, že ve srovnání s celou „spoustou“ čísel, která lze v zásadě (pokud ne v praxi) zapsat desetinně.Výjimkou jsou racionální čísla a jejich jmenovatelé (ve zmenšené formě) mají pouze mocniny 2 a / nebo mocniny 5.
Nástroj, kterému musíte porozumět, je podstatou konvergentní geometrické řady.
Konvergentní (nekonečná) geometrická řada je řada ve tvaru.
\ displaystyle {\ qquad a + a \ times r + a \ times r ^ 2 + \ ldots + a \ times r ^ n + \ ldots.}
Když řada končí po nějakém konečném počtu termínů s nejvyšší silou N, je to poměrně snadné potvrdit, že řada se rovná součtu
\ displaystyle {\ qquad S\_N = a \ sum\_ {k = 0} ^ N r ^ k = \ frac {a (1-r ^ N)} { 1-r},}
a ptáme se, co to znamená mít nekonečný součet. Konvenční definice spočívá v tom, že termíny se dostatečně rychle zmenšují, takže se celková hodnota blíží konečné hranici, protože N se libovolně zvětšuje. Zkoumání této myšlenky nás vede k podmínce, která spočívá v tom, že společný poměr r musí ležet mezi (ale nesmí být buď) -1 a 1. Nebo, | r | , což odpovídá -1 .
Potom se vzorec stane
\ displaystyle {\ qquad S = \ frac {a} {1-r},}
jako termín r ^ N \ to0.
Nyní si připomeňme, jak je definována desetinná notace: ve skutečnosti je to zkratka pro řadu tvarů
\ displaystyle {\ qquad \ begin {align *} & a\_ka\_ {k-1} \ ldots a\_1a\_0.b\_1b\_2 \ ldots b\_n \ ldots \\ & \ qquad = a\_k \ times10 ^ k + a\_ {k-1} \ times10 ^ {k-1} + \ ldots + a\_1 \ times10 + a\_0 \\ & \ qquad \ qquad + \ frac {b\_1} {10} + \ frac {b\_2} {10 ^ 2} + \ ldots + \ frac {b\_n} {10 ^ n} + \ ldots, \ end {align *}}
kde k je nejvyšší nenulový výkon z deseti, který je menší než počet, a a\_i, b\_j jsou desetinná místa (celá čísla od nuly do devíti).
Číslo 9 999 \ ldots = 9. \ dot9 je číslo tohoto tvaru, kde k = 0 a a\_0 = 9 = b\_j pro všechna kladná celá čísla j. Naštěstí nám to přesně dává podobu geometrické řady! (Všimněte si, že každé číslo v desítkové formě, kde se číslice liší od 9 vpravo, je výše ohraničeno řadou, jako je tato.)
Můžeme jen zapojit věci: první člen je a = 9 , a společný poměr je r = \ frac {1} {10} . Okamžitě tedy víme, že tato řada konverguje!
Dostaneme
\ displaystyle {\ qquad S = \ frac {9} {1- \ frac {1} {10}} = \ frac {90} {10-1} = \ frac {90} {9} = 10.}
Velmi elegantní.
Existují samozřejmě i další triky lze použít k prokázání, že 9. \ dot9 = 10 (každopádně v desítkové soustavě …), ale nejlepší (podle mého názoru) je porozumět něčemu o tom, co notace znamená a jak funguje – a pak je snadné pochopit s tím, že ani v poziční notaci není každé číslo reprezentováno pouze jedním způsobem.
Obecně platí, že pokud máme platnou základnu b, číslo představované v této poziční základně ve tvaru 0. (b -1) (b-1) (b-1) \ ldots se vždy rovná 1. Tedy například v binární podobě, kde 0,1 = \ frac {1} {2}, máme 0,111 \ ldots = \ frac { 1} {2} + \ frac {1} {4} + \ frac {1} {8} + \ ldots = 1. „Metoda“ nekonečné řady funguje k prokázání tohoto výsledku stejným způsobem.