Nejlepší odpověď
Existuje mnoho dobrých odpovědí, které vám pomohou vizualizovat, co tato otázka znamená, abyste intuitivně dosáhli odpověď 3. A nic, co zde píšu, nemá nic odnést z hodnoty těchto odpovědí. Pomáhají novým studentům konkrétně přemýšlet o vazbě mezi matematikou a modelováním, a to je OBROVSKÁ dovednost.
S tím se říká, že matematika není modelování. Alternativní způsob uvažování o tomto problému je tedy z čistě matematické perspektivy. A pokud si tuto dovednost osvojíte, budete se propracovávat k tomu, abyste zvládli abstraktnější druhy matematiky, které často končí matematickou kariéru studentů, kteří se spoléhají výhradně na více intuitivní přístup zaměřený na více modelů.
Zeptali jste se „Co je 3/4 děleno 1/4?“
Přímo uprostřed vaší otázky jste použili výraz „děleno“. Pro matematika je to klíč k okamžitému vyhledání DEFINICE dělení. Definice jsou cihly, na nichž je matematika postavena.
Definice dělení (v tomto kontextu) je:
Vzhledem k tomu, že dvě čísla, a a b (s b \ ne 0), a děleno b je c, pokud c krát b se rovná a.
Takže teď vím, co znamená „děleno“. Můžeme použít tuto definici na váš problém? Ptáte se asi 3/4 děleno 1/4. Vypadá to, že máte dvě čísla (druhé z nich není nula) a chcete znát výsledek od prvního děleno druhým. Zdá se tedy, že tato definice je přesně to, co potřebujete.
Takže hra nyní začíná. Odpověď na problém bude jakékoli číslo, c, například \ frac 14 \ krát c = \ frac 34.
Tady jsou dobré zprávy. Nyní víme, jak zkontrolovat, zda je nebo není správná odpověď. Prostě vynásobíme 1/4 odpovědí kandidáta a pokud je výsledek 3/4, odpověď kandidáta je správná.
Špatnou zprávou je, že pokud odpověď kandidáta NENÍ správná, nejsme blíže nalezení správné odpovědi. Jinými slovy, definice nám nepomůže najít správnou odpověď. Pomáhá nám pouze ověřit, zda je odpověď kandidáta správná.
Co tedy můžeme dělat? Pokusy a omyly navždy vypadají jako špatný nápad. Zdá se, že je čas vymyslet pravidlo, které nám vždy dá správnou odpověď.
Navrhuji toto pravidlo. Vzhledem k tomu, že dvě čísla a a b \ ne 0, děleno b musí být vždy rovno časům převrácené b (často označované \ frac 1b).
Než můžeme toto pravidlo samozřejmě použít, musíme se ujistit, že to vždy funguje. Tomu říkáme důkaz. Důkaz je snadný, protože pravidlo mi dává kandidátské řešení a definice mi říká, jak přesně zkontrolovat kandidátské řešení.
Je pravda, že a \ times \ frac 1b = a děleno b? Definice říká, že odpověď bude c, pokud se c krát b bude rovnat a. Můžeme tedy vynásobit našeho kandidáta, a \ times \ frac 1b b, abychom dostali a? Protože násobení je komutativní, jasně můžeme. A pravidlo je prokázáno. (Právě jsme prokázali naši první větu o dělení. Pokud jsou definice u matematických cihel, věty a důkazy jsou maltou, která je drží pohromadě a umožňuje jim být použity k vytváření skvělých struktur.)
Takže Zdá se, že odpověď na náš problém je, že 3/4 děleno 1/4 musí být rovno součinu 3/4 a převrácené hodnoty 1/4. Skvělý! Správně?
No, nyní jsme změnili náš problém dělení na dva problémy. Jedním z nich je problém s násobením. Druhým je „Jak najdu převrácenou část 1/4?“
Předpokládám, že víte, jak znásobit čísla, takže ve skutečnosti máme jen jednu otázku, jak najít převrácené hodnoty. Opravdu, toto je jen další problém dělení. Opravdu vás teď žádám, abyste našli 1 děleno 1/4. To se na první pohled nezdá jako výhra, protože jsem se vrátil k dělení. Ale já tvrdím, že je to výhra, protože jsme šli od toho, abychom museli přijít na to, jak rozdělit JAKÉKOLI a o b na nyní, jen abychom museli najít 1 děleno b pro jakoukoli nenulovou b. A dobrou zprávou je, že JEDNODUCHO se naučíte, jak uhodnout tu správnou reciproční. A jakmile to uhodnete, můžete to ověřit, protože právě to vám definice říká, jak na to.
Reciproční 1/4 je 4. Můžeme to ověřit, protože reciproká znamená 1 děleno 1 / 4 a definice říká, že 4 je odpověď, pokud 4 vynásobené 1/4 dává 1. A to je skutečně pravda.
Takže konečně jsme se dozvěděli, že 3/4 děleno 1 / 4 se rovná 3/4 krát 4. A protože vím, jak se množit (například sečtením 4 kopií čísla 3/4), dospěl jsem k závěru, že odpověď je 3. A pokud jsem opravdu opatrný, vraťte se a zkontrolujte výsledek pomocí definice, abyste se ujistili, že jsem neudělal žádné chyby. Je tedy 1/4 vynásobena 3 rovna 3/4? Ve skutečnosti je, takže 3 bylo nyní ověřeno jako správné řešení.
Nyní se tato odpověď zdá SKUTEČNĚ dlouhá a komplikovaná – zejména pro nováčky v matematice. Je mi to jasné.Skutečně dostanete odpověď mnohem rychleji pomocí kalkulačky nebo Googlu nebo pomocí některých (neprokázaných) technik, které se většina z nás učí na začátku školy. O to ale vůbec nejde.
To, co jsme se opravdu naučili, není odpověď na TENTO problém. Skutečně jsme se naučili, že dělení JAKÝCHKOLI DVĚCH čísel vyžaduje, abychom věděli, jak dělat dvě věci. Nejprve musíme vědět, jak vydělit JEDNÉ libovolným (nenulovým) číslem, abychom získali reciproční. A za druhé, musíme vědět, jak vynásobit libovolná dvě čísla. A tato pravda je mnohem zajímavější a hlubší než znalost odpovědi na tuto otázku. Odpusťte nadměrně používanou metaforu, ale učí to člověka rybařit, než mu rybu dávat.
A skutečná síla je v tom, že rozděluje do kontextu, který umožňuje jeho zobecnění. A zevšeobecnění dělení dvou čísel vede k důležitým myšlenkám. A o tom opravdu je matematika!
Odpověď
Michael Lamar ve své odpovědi velmi dobře vysvětluje, proč je pochopení abstraktního pojmu dělení matematicky důležitější než konkrétní odpověď na \ frac34 \ div \ frac14, takže se ponořím přímo do zevšeobecňování:
Co je \ frac {n} {m} \ div \ frac {p} {q}?
V a Pole každý nenulový prvek a má jedinečnou multiplikativní inverzi a „takový, že
\ quad a \ times a“ = a “ \ times a = 1 multiplikativní identita.
Divize je definována z hlediska násobení:
\ quad b \ div a \ equiv b \ times a „
Multiplikativní inverze zlomku je dána převrácením zlomku, protože:
\ quad \ frac {p} {q} \ times \ frac {q} {p} = \ frac {p \ times q} {q \ times p} = 1 proto \ left (\ frac {p} {q} \ right) „= \ frac {q} {p} (kromě p = 0).
Proto je naše dělení dáno vztahem:
\ quad \ frac {n} {m} \ div \ frac {p} {q} = \ frac {n} {m} \ times \ frac {q} {p} = \ frac {n \ time s q} {m \ times p}
Pro začínajícího matematika to odpovídá na otázku, přinejmenším v kontextu pole. Pravý (čistý) matematik pak bude chtít vidět, jak mohou dále generalizovat.
Ostatní se budou více zajímat o získání konkrétní odpovědi na původní otázku vytvořením instance n = 3, m = 4, p = 1, q = 4 získat:
\ quad \ displaystyle \ frac34 \ div \ frac14 = \ frac {3 \ times4} {4 \ times1} = \ frac {12} {4}
Stále ne docela 3, ale můžete se tam dostat s trochu větší abstrakcí: cvičení, které nechám na zainteresovaného čtenáře.
Mimochodem, pro toho začínajícího matematika byste možná rádi zkontrolovali, že v konečném poli \ mathbb F\_5 máme:
\ quad \ frac34 \ div \ frac14 = \ frac12 protože \ frac34 \ equiv2, \ frac14 \ equiv4 a \ frac12 \ equiv3