Nejlepší odpověď
Pokud vím, pojem „množina bodů“ nemá standardní matematickou definici. Fráze „Nechť X je množina bodů“ nemá smysl. V „topologii bodové sady“ je fráze „bodová sada“ adjektivum modifikující „topologii“, na rozdíl od „algebraické topologie“ nebo „diferenciální topologie“.
- Bodová množinová topologie studuje potenciálně patologické topologické prostory z v podstatě množinově teoretického hlediska.
- Algebraická topologie používá homologickou algebru k analýze vhodně pěkných souvislých prostorů.
- Diferenciální topologie používá pro studium hladkých prostorů kalkul.
Modifikátor „bodová sada“ topologie proto označuje, že potenciálně pracujete v kontextu, ve kterém jsou vaše mezery nelze studovat kontinuálními nebo diferencovatelnými metodami.
Odpověď
Řádku lze považovat za sestávající z body, ale nejsem si jist, zda je to nejlepší způsob, jak o tom přemýšlet. A jsem si docela jistý, že byste neměli říkat, že čára je „tvořena“ body, protože ani jeden není zásadnější než ostatní.
V axiomatické geometrii jsou čáry a body odlišné základní entity. V bodě se protínají dvě čáry a na dané čáře je přísné pořadí odlišných bodů. Zajímavým prvkem projektivní geometrie je symetrie mezi body a přímkami: existuje mezi nimi formální dualita . Toto prohlášení o dvou liniích, které se setkávají v bodě, je formálně ekvivalentní jeho dvojímu – dva body definují linii. V duálním zobrazení je bod „tvořen“ čarami.
Pokud jde o mohutnost bodů na přímce: záleží na konstrukcích, které povolíte. S tradičním „neoznačeným pravítkem a kompasem“ existuje pouze spočetný počet bodů, které můžeme na řádku dosáhnout. Obecně můžeme povolit limity posloupnosti bodů, abychom dosáhli libovolného bodu na řádku reálného čísla, který má nespočetnou mohutnost kontinua. Neexistuje však žádný zvláštní důvod k tomu, abychom se u toho zastavili: můžeme zkonstruovat, řekněme, surrealistickou číselnou řadu, kde mohou být různé body nekonečně blízké a je jich nespočetně mnoho (mimo nespočet!).