Nejlepší odpověď
Z teoretického pravděpodobnostního hlediska je náhodné pole rodina náhodných proměnných indexovaných varietou.
Dovolte mi vysvětlit:
Stochastický proces je rodina náhodných proměnných \ {X (t) \} \_ {t \ v T}, kde pro každé t je X (t) náhodná proměnná at se mění v množině T nazývané množina indexů. Definice teoreticky neklade žádné omezení na sadu indexů T, může to být libovolná sada. Když však řekneme stochastický proces, 99\% času ve skutečnosti myslíme t jako čas, proto T musí být skutečná linie nebo množina celých čísel nebo jejich část.
Když toto je Nejčastěji tomu tak není, když T je ve skutečnosti vyšší dimenzionální euklidovský prostor nebo jeho část, nebo něco podobného („potrubí“), pak \ {X (t) \} \_ {t \ v T} je nazývá se náhodné pole. Myšlenka je, že jelikož index již není jednorozměrný, nemůžeme si to představit jako čas, takže si to myslíme jako prostor. Ve výsledku nedostaneme „proces“, dostaneme „pole“. Dostaneme tedy náhodnou plochu nebo náhodnou vícerozměrnou funkci.
Odpověď
Náhodná proměnná je definována jako měřitelná funkce
X: \ Omega \ mapsto \ R
Kde \ Omega je Pravděpodobnostní prostor – Wikipedia .
Nedělejte si tolik starosti s „měřitelnou“ částí; hlavní bod, který zde chci zmínit, je, že zejména v matematice a fyzice existuje jakási ekvivalence mezi funkcemi a proměnnými .
Například běžně používaná forma pravidla řetězu z programu Calculus říká:
\ frac {dy} {dx} = \ frac {dy} {du} \ frac { du} {dx}
ale toto má smysl, pouze pokud y je implicitně funkcí u a u je implicitně funkcí x. Dále na levé straně y ve skutečnosti (a implicitně) představuje složenou funkci y = y (u (x)).
Tento druh zápisu funkce jako proměnné také neustále vidíte v diferenciálních rovnicích. Například když někdo napíše diferenciální rovnici jako
y „= y
, jednoduše pochopil , že y je funkce v nějaké nespecifikované doméně, tj. y = y (x), a že y „představuje funkci \ frac {dy} {dx} a = znaménko znamená rovnost funkcí. To je spousta nastavení zabudovaných do této notace!
Zmíním to, protože náhodné proměnné fungují přesně stejným způsobem. Píšeme X, ale tento symbol odkazuje na funkci X (\ omega). Náhodná proměnná je funkce, jejíž doménou je prostor pravděpodobnosti. Pravděpodobnostní prostor není v zápisu téměř nikdy explicitní, ale musí být definován v kontextu.
Pokud jde o to, proč se nazývá „náhodný“, je to právě slovo, které používáme pro věci, které závisí na pravděpodobnostním prostoru. Pokud řeknu „počet 1 pro hlavy, -1 pro ocasy“, definoval jsem oba pravděpodobnostní prostor \ Omega = \ {hlavy, ocasy \} (pravděpodobně s rovnoměrné rozdělení) a náhodná proměnná X (hlavy) = 1, X (ocasy) = – 1. Symbol X neoznačuje skutečné číslo, ale spíše funkci s „náhodnou“ doménou, kde „náhodný“ může být volně definován jako „se známým rozdělením výsledků“.