Nejlepší odpověď
George Gamow vysvětluje, jak Galileo dospěl k tomuto vzorci ve své knize „Gravitace“.
Galileo studoval padající těla. Chtěl znát matematický vztah mezi časem, který si vzal pád předmětu, a ujetou vzdáleností. Udělal tedy experiment.
Postavil nakloněné letadlo. Poté nechal koule různých materiálů valit se dolů rovinou (netlačil je). Na konci 1., 2., 3. a 4. sekundy změřil vzdálenosti, které míček překonal. Mohl přímo uspořádat volný pád míče. Ale volný pád je docela rychlý a v té době neměl dobré hodiny. Provedením experimentu na nakloněné rovině snížil gravitační sílu působící na kouli a zvýšil čas potřebný k dosažení dna, který závisí na sklonu nakloněné roviny. Následující obrázek to vysvětluje:
Z obrázku můžeme ukázat, že
[matematika] \ frac {mgsin (a)} {mg} = sin (a) = \ frac {x} {z} [/ matematika].
Čím menší je x, tím menší bude síla způsobující pohyb a více bude čas, který míč potřebuje k dosažení dna. Galileo zjistil, že vzdálenosti překonané míčem na konci 2., 3. a 4. sekundy jsou 4, 9 a 16násobek vzdálenosti překonané na konci 1. sekundy. To ukazuje, že rychlost míče se zvyšuje takovým způsobem, že vzdálenosti, které míček překonává, se zvětšují s druhou mocninou času cestování. Nyní byla otázka, jak spojit rychlost s časem uvedeným nad vztahem vzdálenost-čas. Galileo uvedl, že tento druh vztahu vzdálenost-čas lze získat pouze tehdy, když je rychlost míče přímo úměrná času. Následující obrázek ukazuje graf rychlosti a času výše uvedeného experimentu a prohlášení Galileo:
Na obrázku výše bod A odpovídá nulové poloze koule (na vrcholu nakloněné roviny) a bodu B odpovídá koule, která má na konci časového intervalu t rychlost v. Víme, že oblast trojúhelníku ABC nám udává vzdálenost, kterou koule překonala , s, v časovém intervalu (0, t). Proto je ujetá vzdálenost,
s = \ frac {1} {2} vt.
Ale podle Galileova argument, v je přímo úměrné t, tj. v = kde a je zrychlení.
[math] s = \ frac {1} {2} vt = \ frac {1} {2} v ^ 2. [/ math]
Takže ujetá vzdálenost se zvyšuje jako čtverec času, který byl naším experimentálním pozorováním. Tento vzorec udává ujetou vzdálenost, když míči není dána počáteční rychlost. Ale když má míč nějakou počáteční rychlost, u, přidá se k výše uvedenému vzorci pojem „ut“, což je vzdálenost uražená v čase t při rychlosti u. Tento termín pouze zvětší vzdálenosti měřené v našem experimentu, ale zachová stejný vztah vzdálenosti a času. Konečný vzorec tedy je:
s = ut + \ frac {1} {2} v ^ 2.
Odpověď
Když se snažíte dokázat cokoli souvisejícího na kladná celá čísla, první myšlenkou by měla být indukce. Problém je v tom, že neexistuje žádný okamžitě zřejmý způsob, jak postupovat. Chceme být schopni přidat něco na obě strany nerovnosti, ale pak by se zvýšila vazba na pravé straně.
Trik v tomto problému spočívá ve skutečnosti, aby byla vazba silnější, než je v současné době. Dokážeme tedy související prohlášení
\ dfrac {1} {2 ^ 2} + \ dfrac {1} {3 ^ 2} + \ dfrac {1} {4 ^ 2} + \ cdots + \ dfrac {1} {n ^ 2} dfrac {3} {4} – \ dfrac {1} {n}
pro všechna kladná celá čísla n \ geq 3. Původní prohlášení následuje umožňující n přiblížit se k nekonečnu.
Všimněte si, že pro každé kladné celé číslo k máme
\ dfrac {1} {k} – \ dfrac {1} {(k + 1 ) ^ 2}> \ dfrac {1} {k} – \ dfrac {1} {k (k + 1)} = \ dfrac {k} {k (k + 1)} = \ dfrac {1} {k + 1}.
Pokud to víme, můžeme pokračovat indukcí.
Protože \ dfrac {1} {2 ^ 2} + \ dfrac {1} {3 ^ 2} = \ dfrac {13} {36} dfrac {5} {12} = \ dfrac {3} {4} – \ dfrac {1} {3}, základní případ n = 3 je pravdivý.
Nyní předpokládejme, že tvrzení platí pro některé k, konkrétně
\ dfrac {1} {2 ^ 2} + \ dfrac {1} {3 ^ 2} + \ dfrac {1} { 4 ^ 2} + \ cdots + \ dfrac {1} {k ^ 2} dfrac {3} {4} – \ dfrac {1} {k}.
Chceme ukázat, že prohlášení platí také pro k + 1. Chcete-li to provést, přidejte \ dfrac {1} {(k + 1) ^ 2} na obě strany:
\ dfrac {1} {2 ^ 2} + \ dfrac {1} {3 ^ 2 } + \ cdots + \ dfrac {1} {k ^ 2} + \ dfrac {1} {(k + 1) ^ 2} dfrac {3} {4} – \ dfrac {1} {k} + \ dfrac {1} {(k + 1) ^ 2}.
Z nerovnosti, kterou jsme prokázali výše, se to zjednodušuje na
\ dfrac {1} {2 ^ 2} + \ dfrac {1} {3 ^ 2} + \ cdots + \ dfrac {1} {k ^ 2} + \ dfrac {1} {(k + 1) ^ 2} dfrac {3} {4} – \ dfrac {1} {k + 1},
což je přesně to, co jsme chtěli dokázat.
Proto, podle principu matematické indukce, platí upravené prohlášení pro všechna celá čísla n \ geq 3, takže i původní tvrzení je pravdivé.
EDITACE: Jak zdůraznil Predrag Tosic v komentářích, když dovolíme n přiblížit se k nekonečnu, znaménko usí být změněno na \ leq v v případě, že obě strany nerovnosti konvergují ke stejné hodnotě.To však lze napravit namísto prokázání nerovnosti
\ dfrac {1} {2 ^ 2} + \ dfrac {1} {3 ^ 2} + \ dfrac {1} {4 ^ 2} + \ cdots + \ dfrac {1} {n ^ 2} dfrac {3} {4} – \ epsilon – \ dfrac {1} {n}
pro malou hodnotu \ epsilon ( řekněme \ dfrac {1} {100}), což by při přiblížení n k nekonečnu mělo za následek
\ dfrac {1} {2 ^ 2} + \ dfrac {1} {3 ^ 2} + \ dfrac {1} {4 ^ 2} + \ cdots \ leq \ dfrac {3} {4} – \ epsilon,
z čehož vyplývá požadovaný výrok.