Nejlepší odpověď
Gavin Song vám již dal skvělou odpověď, ale udělám vše pro to, abych vám poskytl alternativu způsob pohledu na tento problém pomocí kalkulu.
Fakt: Libovolnou 2D elipsu lze parametrizovat jako
\ begin {align *} y (t) & = a \ sin (t) \\ x (t) & = b \ cos (t) \ end {align *}
Kde 0 \ leq t \ leq 2 \ pi a a a b jsou semi-moll a semi-major osy (neboli vertikální a horizontální poloměry).
Vezměme si, že bod má změnu v ose x a další v ose y, řekněme \ Delta y a \ Delta x. Pomocí Pythagorovy věty víme, že délka mezi počáteční a konečnou polohou bodu je dána vztahem (\ Delta y ^ 2 + \ Delta x ^ 2) ^ {1/2}. Jednoduché, že?
Nyní použijte tuto logiku na parametrizovanou elipsu. Abychom aproximovali obvod elipsy, mohli bychom „sledovat“ bod na elipsě několika kroky t, změřit délku mezi jejími polohami v každém intervalu a na konci je sečíst. Pokud to zkusíte sami, všimnete si, že měření bude čím dál přesnější, vezmeme-li v úvahu menší a menší intervaly. Abychom získali skutečný obvod, mohli bychom tento proces provádět v nekonečně malých intervalech, což by dalo nekonečně malé změny v x a y, řekněme dx a dy. To odpovídá vyhodnocení následujícího integrálu:
\ int\_ {0} ^ {2 \ pi} (dx ^ 2 + dy ^ 2) ^ {1/2}
Nechť je obvod vyjádřen jako l. Použijeme-li parametrizaci z dřívějšího období, můžeme ji vyjádřit jako
\ begin {align *} l & = \ int\_ {0} ^ {2 \ pi} \ Big (\ Big (\ frac {dy } {dt} \ Big) ^ 2 + \ Big (\ frac {dx} {dt} \ Big) ^ 2 \ Big) ^ {1/2} dt \\ & = \ int\_ {0} ^ {2 \ pi } (a ^ 2 \ cos ^ 2 (t) + b ^ 2 \ sin ^ 2 (t)) ^ {1/2} dt \ end {align *}
Je tu však háček. Tento integrál nemá žádné symbolické řešení, pokud a = b (což nám elegantně dává vzorec pro obvod kruhu), takže naší jedinou možností je použít numerické metody k získání dobré aproximace. To pro vás může být zajímavé nebo zklamáním, ale ať tak či onak, doufám, že to pomohlo.
🙂
Odpovědět
Pokud se mnou budete snášet, budu zvažte tuto otázku obráceně.
Předpokládejme, že kruh a elipsa mají stejné oblasti.
Moje otázka zní: „Mají stejné obvody?“
(Všimněte si, že když a = b = r je vzorec stejný jako plocha kruhu.)
Obvod kruh je 2πr
Obvod elipsy je velmi obtížné vypočítat!
Lidé se snažili najít vzorce k nalezení obvodu elipsy, ale většina pokusů je pouze aproximací.
Některé metody dokonce zahrnují sčítání nekonečných řad!
Slavný indický matematik Ramanujan vypracoval velmi dobrý vzorec, který je docela přesné.
Všimněte si, že pokud a = b = r, stane se z elipsy kruh a výše uvedený vzorec se změní na vzorec pro obvod kruhu C = 2πr .
Pokud jej dosadíme do jeho vzorce, dostaneme:
\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_
Zvažme konkrétní příklad, kdy kruh má poloměr 6 cm a elipsa má hlavní osu 9 cm a vedlejší osu 4 cm.
Plocha kruhu = π × 6 × 6 = 36π čtverečních cm
Plocha kruhu ellipse = π × 9 × 4 = 36π čtverečních cm
———————————————— ——————————
Obvod kruhu = 2πr = 12π cm
Obvod elipsy podle Ramanujanova vzorce je:
———————————————————————————————— ————
Závěr, pokud mají kružnice a elipsa stejnou plochu, má elipsa o větší obvod než kruh .