Nejlepší odpověď
Začněte řešením. Například pokud chcete, aby řešení bylo x = 1, pak by odpovídající faktor byl x – 1. Jelikož je to jediné řešení, musí to být oba faktory, které tvoří rovnici
( x – 1) (x – 1) = 0
nebo
x ^ 2 – 2x + 1 = 0
Odpověď
Řešením kvadratické rovnice jsou dva body, kde graf protíná osu x. To znamená, že jsou to dvě hodnoty x, díky nimž je v grafu nula y.
Tyto body získáme faktorováním rovnice. Nejprve přepíšeme rovnici do tvaru 0 = ax ^ 2 + bx + c.
Je-li to dostatečně jednoduché, můžeme faktorovat pravou stranu tak, že ji oční bulvou omotáme. Například pokud je rovnice: 0 = x ^ 2 + 7x + 12, s určitou praxí poznáte, že se to promítne do 0 = (x + 3) (x + 4).
Důvod factoring je tak důležitý je skutečnost, že když se součin dvou čísel rovná nule, jeden z termínů MUSÍ být nula. Protože máme 0 na levé straně a produkt na pravé straně (x + 3) (x + 4), jeden z těchto výrazů musí být nula.
Takže buď x + 3 = 0, nebo x + 4 = 0. Můžeme vyřešit pro x v obou případech a dostaneme x = -3 nebo x = -4. To znamená, že graf naší rovnice protíná osu x ve dvou bodech -3 a -4, takže graf této rovnice je parabola (všechny kvadratické rovnice jsou paraboly) posunutá doleva a dolů, takže dva paže paraboly protínají osu x v bodech -3 a -4.
Někdy není snadné srovnat rovnici tak, že ji oční bulvou ověříte. V takovém případě můžeme použít kvadratický vzorec. (Je opravdu zábavné odvodit kvadratický vzorec – pokud nevíte jak a chcete, abych vám ho ukázal, zeptejte se.)
Tady je kvadratický vzorec:
x = \ frac {-b \ pm \ sqrt {b ^ 2 – 4ac}} {2a}
Chcete-li to otestovat, pokud zapojíme a, b a c z naší rovnice, 0 = x ^ 2 + 7x + 12, pak a = 1, b = 7, c = 12 a zapojením do vzorce dostaneme:
x = \ frac {-7 \ pm \ sqrt {7 ^ 2 – 4 (1) (12)}} {2 (1)}
= \ frac {-7 \ pm \ sqrt {49 – 48}} {2}
= \ frac {-7 \ pm \ sqrt {1}} {2}
= \ frac {-7 + 1} {2} a \ frac {-7 – 1} {2}
= \ frac {-6} {2} = -3 a \ frac {-8} {2} = -4. Takže to fungovalo!
Dobře, vše je předběžné k vaší otázce. Vaše otázka zní, kdy jsou řešení nekonečna kvadratické rovnice. Pojďme se zamyslet nad tím, co to znamená. Nejprve je jasné, že není možné mít jedno řešení v nekonečnu, ale druhé konečné. Pokud by tomu tak bylo, měli bychom nějaké konečné číslo krát nekonečno, které se nemůže rovnat nule.
Takže otázka zní, je možné pro oba řešení být nekonečno? Jak by to vypadalo?
V kvadratickém vzorci by jediným způsobem, jak dosáhnout nekonečna, bylo, kdyby a = 0. Jmenovatel by byl nulový, a proto by celá rovnice byla „nekonečno“. Ale pokud a = 0, pak rovnice již není kvadratická, je lineární, že? Například 0 = 0x ^ 2 + 7x + 12 je stejné jako 0 = 7x + 12. To je jen přímka, je lineární, ne kvadratická. Ale každá čára někde protíná osu x, že? Jediný případ, kdy tomu tak není, je situace, kdy je rovnoběžná s osou x. To znamená, že když má sklon 0. To znamená, že b = 0. Takže teď máme 0 = 0x ^ 2 + 0x + c. Jinými slovy 0 = c. Ale pak c = 0.
Jinými slovy, žádná taková rovnice neexistuje. Jak řekla druhá odpověď, všechny kvadratické rovnice protínají osu x v konečném bodě. (Všimněte si, že tyto body nemusí být nutně skutečné! Pokud je b ^ 2 – 4ac záporné, pak rovnice má ve skutečnosti imaginární kořeny. Ale stále jsou konečné.)