Nejlepší odpověď
Jak velké je Rayovo číslo ve srovnání s Grahamovým číslem? Je větší. Mnohem větší. Byl navržen tak, aby byl.
Grahamovo číslo je obrovské. Je mnohem větší než běžná velká čísla jako Googolplex , že uchopení toho, o kolik je větší, může být docela ohromující. V oblasti enormních čísel však Grahamovo číslo není výjimečné. Existuje celá řada čísel, která byly koncipovány tak, že jsou ohnivě větší než Grahamovo číslo, protože Grahamovo číslo je samo o sobě velké. Grahamovo číslo nebylo navrženo, nezapomeňte, aby bylo obzvlášť velké; ve skutečnosti vzniklo ve snaze najít nejmenší horní hranice matematického problému (a pro tento problém byly mezitím nalezeny mnohem menší horní hranice!). Na Grahamově čísle bylo zvláštní jen to, že v té době to bylo největší číslo, které bylo použito ve významném matematickém důkazu nebo odvození.
Další čísla, která opouštějí Grahamovo číslo daleko od té doby byly odvozeny nebo použity ve smysluplných důkazech. Jedním z příkladů je TREE (3) , ale existuje i mnoho dalších.
Rayovo číslo se trochu liší od všech těchto. Vidíte, Rayovo číslo bylo navrženo konkrétně jen proto, aby to bylo obrovské číslo. Je, prakticky ze své podstaty, větší než kterékoli z těchto ostatních čísel mluvilo se o tom. Je to mnohem lepší než kdokoli z nich, že ani přesně nevíme, jaké je to velké: ale víme docela dost děsivě obrovských čísel, o kterých víme, že musí být větší než!
Je zřejmé, že ani Rayovo číslo není v žádném smyslu „největším číslem“. Nic takového neexistuje. Můžeme vždy přidat jedno k libovolnému číslu a trochu ho zvětšit. Můžeme zvýšit libovolné číslo na jeho vlastní sílu a získat jeden o dost větší. Ale Rayovo číslo je v současné době považováno za největší konečné číslo, jaké se někdo obtěžoval pojmenovat (kromě triviálních rozšíření, jako je Rayos-Number-plus-one a podobně).
Odpovědět
Rayovo číslo i je mnohem větší.
Vysvětlím, jaké je Rayovo číslo, potom pochopíme, proč je mnohem větší než Grahamovo číslo.
Existuje starý paradox, který zní asi takto: Nechť N je definováno jako „Nejmenší kladné celé číslo, které nelze definovat nanejvýš dvanácti anglickými slovy“.
Někdo by se mohl zeptat, co je N?
No, ať už je N jakékoli, je jasně definovatelný nanejvýš dvanácti anglickými slovy, konkrétně slovy „Nejmenší kladné celé číslo nedefinovatelné nanejvýš dvanácti anglickými slovy“. Ale to je rozpor, protože podle definice N nelze definovat dvanácti anglickými slovy.
Paradox! SpoooOoOoOky!
Řešení tohoto paradoxu, nad rámec pouhé skutečnosti, že „angličtina“ je obecně vágní, spočívá v tom, že „definovatelná“ je zvláště špatně definovaná. Pokud která čísla jsou definovatelná, závisí na slově „definovatelná“, jejichž význam závisí na tom, která čísla jsou definovatelná, skončíte s kruhovou definicí, kterou nelze vyřešit.
Proč jsem uvedl tento paradox?
Rayovo číslo lze chápat jako „formalizaci“ výše uvedeného; používá spíše matematický jazyk než angličtinu a upřesňuje pojem „definovatelnost“. Rayovo číslo je
„Nejmenší kladné celé číslo větší než jakékoli konečné kladné celé číslo pojmenované výrazem v jazyce sady prvního řádu teorie se symboly googolu nebo méně. „
Teorie množin prvního řádu – zde znamená„ logiku prvního řádu v doméně Von Neumannova vesmíru , což je model Zermelo – Fraenkelova teorie množin “- je přesný matematický jazyk. This formální jazyk má tu vlastnost, že nedokáže kruhově zakódovat stejnou větu a vytvořit paradox. (Můžete popsat axiomy ZFC v logice prvního řádu a dokonce popsat mechanismus pro hodnocení důkazů atd., ale vy nemůže v sobě vytvořit vesmír Von Neumanna.)
Takže proč je to větší než Grahamovo číslo?
No, Grahamovo číslo není těžké definovat, můžete přečtěte si definici na Wikipedii a je zcela základní, pokud jde o upr vlastní notace, která je definována umocněním. Určitě můžete kódovat Grahamovo číslo pomocí maximálně 10 000 symbolů. Jsem tady konzervativní. A Grahamovo číslo není ani zdaleka největší číslo definované v 10 000 symbolech. Rayovo číslo je ale větší než jakékoli jiné číslo, které lze definovat pomocí symbolů googol = 10 ^ {100}. To je příšerně silnější než Grahamovo číslo! Teorie množin prvního řádu ve skutečnosti dokáže hovořit o Turingových strojích, takže Rayovo číslo je mnohem větší, než řekněme BusyBeaver (ať už si myslíte jakýkoli velký počet).