Nejlepší odpověď
Dvě veličiny jsou ve zlatém poměru , pokud jejich poměr je stejný jako poměr jejich součtu k větší ze dvou veličin.
Nyní, když necháme a a b (b> a) být dvě veličiny ve zlatém poměru, pak
\ dfrac {b} {a} = \ dfrac {a + b} {b} \ overset {\ mathrm {def} ^ n} {=} \ varphi \ tag * {}
\ dfrac {b} {a} = \ dfrac {a} {b} +1 \ tag * {}
\ dfrac {b} {a} = \ dfrac {1} {\ frac {b} {a}} + 1 \ tag * {}
\ varphi = \ dfrac {1} {\ varphi} +1 \ tag * {}
\ varphi ^ 2- \ varphi-1 = 0 \ tag * {}
Kvadratický vzorec ukazuje, že
\ varphi = \ dfrac {1+ \ sqrt {5}} {2} \ cca 1,618 \ tag * {}
(Druhé řešení dává \ frac {a} {b} nebo \ varphi ^ {- 1} )
Jak již zmínili ostatní, poměr mezi dvěma po sobě následujícími čísly Fibonacci se také blíží \ varphi.
Ve skutečnosti pro každou sekvenci splňující relaci opakování (s počátečními hodnotami A\_0, A\_1 ne obojí 0 protože by se to stalo konstantní posloupností ),
A\_n = A\_ {n-1} + A\_ {n-2} \ tag * {}
Limit \ dfrac {A\_n} {A\_ {n-1}} jako n \ na 0 přístupů \ varphi .
To lze dokázat tím, že necháme L jako limit,
L = \ lim \ limits\_ {n \ to \ infty} \ dfrac {A\_n} {A\_ {n-1 }} \ tag * {}
Pomocí opakování,
L = \ lim \ limits\_ {n \ to \ infty} \ dfrac {A\_ {n-1} + A\_ { n-2}} {A\_ {n-1}} \ tag * {}
L = 1 + \ lim \ limits\_ {n \ to \ infty} \ dfrac {A\_ {n-2}} {A\_ {n-1}} \ tag * {}
L = 1 + \ lim \ limits\_ {n \ to \ infty} \ dfrac {1} {\ frac {A\_ {n-1} } {A\_ {n-2}}} \ tag * {}
L = 1 + \ dfrac {1} {L} \ tag * {}
Znovu vynásobením pomocí L a pomocí kvadratického vzorce můžete ukázat, že
L = \ varphi \ tag * {}
Odpověď
Konstrukce kompasem a pravítkem
Scott Beach vyvinul způsob, jak reprezentovat tento výpočet phi v geometrické konstrukci:
Jak Scott sdílí jeho web: Triangle ABC je pravá tria ngle, kde míra úhlu BAC je 90 stupňů. Délka strany AB je 1 a délka strany AC je 2. Pythagorova věta může být použita k určení, že délka strany BC je druhá odmocnina z 5. Strana BC může být prodloužena o 1 jednotku délky k určení bodu D. Úsečkový segment DC pak lze rozdělit (děleno 2), aby se vytvořil bod E. Délka úsečkového segmentu EC se rovná Phi (1,618…).
Phi nomenální!
Zdroj: http://www.goldennumber.net/phi-formula-geometry/