Nejlepší odpověď
Existuje několik způsobů, jak vyřešit kvadratickou rovnici. Můžete použít funkci řešení doplňku. Nejsem příliš obeznámen s tím, jak to funguje, ale je to pro vás návrh.
Další způsoby, kterými jsem obeznámen, je vytvoření tabulky nebo její vytvoření grafu.
Předpokládejme, že máme jednoduchá rovnice: 0 = x ^ 2 + 7x + 10. Nyní víme, že když to vyčíslíme, dostaneme (x + 5) (x + 2) = 0, to znamená x = -2, -5. Zároveň to však můžeme použít jako vodítko, abychom zjistili, jak zkontrolovat naše řešení v aplikaci Excel.
První věcí, kterou můžeme udělat, je vytvořit tabulku aplikace Excel. Rád bych vytvořil tabulku Excel. Mám hodnoty x v levém rozmezí od -50 do 50. Poté můžu jednoduše zapojit rovnici jako takovou:
= [@x]*[@x] + 7*[@x] + 10
nebo
=power([@x],2) + 7*[@x] + 10
[@x] v podstatě je odkaz na buňku pro hodnoty x ve sloupci (krátce vám poskytnu obrázek o tom, jak to funguje).
Pokud se podíváte na rovnici, kterou jsme dostali dříve, 0 = x ^ 2 + 7x + 10. To znamená, že nastavujeme y = 0 (protože celá rovnice je y). To znamená, pokud jde o tabulku aplikace Excel, musíme hledat hodnoty x na levé straně, které budou mít ve sloupci y 0 dalšího totemu. Dodržujte níže:
Pokud si všimnete, máme dva hodnoty, které mají vedle sebe nulu, -2 a -5. Toto představuje řešení rovnice.
Dalším příkladem je vytvoření grafu pro vaši rovnici. Zde můžeme použít naši tabulku Excel jako data řady k vykreslení bodů.
Vynesením bodů do grafu to nebude hned zřejmé. Možná budete muset upravit minimální a maximální osu. V mém grafu jsem upravil osu x tak, aby se pohybovaly od -10 do 5 a osa y od -10 do 10.
Pokud si všimnete, graf kříží x = -2 a kříží kolem x = -5. Rovnici jsme tedy dokázali vyřešit také graficky.
Odpověď
Tvrdě chápu, že máte na mysli ‚těžké faktorizovat . Uvažujme o obecném výrazu ax ^ 2 + bx + c.
Abychom to ‚vyřešili , nastavíme to na 0, a tak dostaneme ax ^ 2 + bx + c = 0. Najít x je vaší povinností.
Bože, opravdu by bylo užitečné, kdyby existovalo jednoduché řešení, které by fungovalo na jakékoli obecné koeficienty. Naštěstí pro nás existuje a je to trochu snadné najít (nezkoušejte to s kubickými rovnicemi nebo vyššími, můžete to zkusit najít, ale na této úrovni je VELMI těžké najít).
Takže o tom chceme pečlivě přemýšlet. Jaký je problém s řešením pro x zde?
V normální lineární rovnici, jako je ax + b = 0, je to snadné. x je jeden výskyt. Problém kvadratiky spočívá v tom, že otravný formát ax ^ 2 + bx nefunguje, protože naše strategie odečítání konstanty a dělení pro získání x nefunguje, musíme to rozbít a nemůžeme snadno použít factoring, protože pokud se pokusíme faktorovat pomocí x nebo x ^ 2, vždy bude existovat deficit „x“.
Sakra, co tu tedy budeme dělat? Máme druhou mocninu, to musí znamenat, že musíme nějakým způsobem získat druhou mocninu, například (?) ^ 2 = gx ^ 2 + hx + e, kde bychom později mohli přidat jako f konstantu, kterou můžeme snadno odečíst jako příklad lineární rovnice. Je zřejmé, že? musí někde obsahovat singulární x, ale do části x musíme také přidat konstantu, protože distribuční vlastnost bude konstantu mandlovat s x, a to stejně tak s x a sebou samým, a konstantu, čímž vytvoří singulární x, bez exponenta. Poté budeme moci druhou odmocninu libovolných konstant, které máme na druhé straně, a poté ji vyřešit jako lineární rovnici.
Takže pojďme se dostat do uvedené polohy.
Pojďme rozdělíme naši původní rovnici obě strany na a, takže mohu získat čistý x ^ 2 a nemusím používat \ sqrt {a} jako koeficient, který bude komplikovanější.
Dostaneme x ^ 2 + \ frac {b} {a} x + c / a = 0.
Dobře, takže naše podoba? musí být x + k, protože nemůže existovat koeficient x, který není jeden, protože distribuce by nezískala „čistý“ x ^ 2. Co je tedy k? Pojďme se na chvíli zamyslet – chceme vynutit způsob, jak získat hx = \ frac {b} {a} x. Kdykoli něco srovnám a přidá se dva pojmy, musím použít rozdělení, abych šel „po částech“. Vzhledem k tomu, že když to umocním, vynásobím toto množství (dva sčítané termíny) samo o sobě, dostanu, jak je uvedeno x ^ 2 z x termínu, konstanta z k termínu, ale také kx procházením k in první množství vynásobící x ve druhém a x a k opačně, ale přidám je, abych získal 2kx. [abyste to viděli, napište (x + k) (x + k), rozdělte, abyste získali (x + k) x + (x + k) k. Nyní jej rozdělte a nakreslete cesty, abyste získali x ^ 2 + kx + kx + k ^ 2, což dává x ^ 2 + 2kx + k ^ 2]
Takže ať je toto k jakékoli bude, musíme mít 2kx = \ frac {b} {a} x, ale to znamená k = \ frac {b} {2a}. Dobře, TEĎ se někam dostáváme.Připomeňme si fakt, že umocňujeme, některé (x + k) ^ 2, a když to rozbalím, dostanu (x + k) (x + k), budu následovat cestu násobení distribucí. Jedna taková cesta, kterou musím následovat, je k krát k, ale my už víme, co je k, takže musíme mít nějakou konstantu k ^ 2 = \ frac {b ^ 2} {4a ^ 2}. Dodejme tedy, že na obě strany, což můžeme udělat, protože to je konstantní a je nám jedno, jakou konstantu dostaneme na druhé straně, chceme jen tento nepořádek správně zohlednit.
Takže uděláme právě to a dostaneme
x ^ 2 + \ frac {b} {a} x + \ frac {b ^ 2} {4a ^ 2} + c / a = \ frac {b ^ 2} {4a ^ 2}
A teď máme všechny výrazy, které nám umožňují toto promítnout do (x + k) ^ 2 = konstantního formátu, přesně tak, jak jsme chtěli! Zjistili jsme, že k je \ frac {b} {2a}, takže jsme to pouze rozložili.
(x + \ frac {b} {2a}) ^ 2 + c / a = \ frac {b ^ 2} {4a ^ 2}
Nyní chceme tento nepořádek napravit, všimněte si, že nakonec odčteme druhou odmocninu, jakmile odečteme konstanty, a v jednom členu máme jmenovatele 4a ^ 2, který je velmi snadno zakořeněn do čtverce. Udělejme s tímto kompatibilní c / vynásobením 1, což nic nezmění, ale 1 = 4a / 4a. Nemusíme si dělat starosti s a = 0, protože kdyby to bylo, měli bychom lineární rovnici, na kterou se nezaměřujeme.
Takže dostaneme (x + \ frac {b } {2a}) ^ 2 + 4ac / 4a ^ 2 = \ frac {b ^ 2} {4a ^ 2}
Skvělé, takže nyní odečtěte druhý člen, protože mají společné jmenovatele, a my get
(x + \ frac {b} {2a}) ^ 2 = \ frac {b ^ 2-4ac} {4a ^ 2}
A pravá strana je nyní konstantní , můžeme druhou odmocninu snadno odmocnit na obě strany!
Dostaneme
x + \ frac {b} {2a} = \ frac {\ sqrt {b ^ 2-4ac}} {2a }
To není úplně správné, protože si musíme uvědomit, že když odmocninu kladné číslo, d ^ 2, d může být kladné nebo záporné. Pro dobrou míru tedy přidáme znaménko plus nebo minus a dostaneme
x + \ frac {b} {2a} = \ frac {\ pm \ sqrt {b ^ 2-4ac}} { 2a}
A nyní můžeme odečíst, že k, protože nyní máme lineární rovnici k řešení, jak jsme chtěli, a dostaneme
x = \ frac {-b \ pm \ sqrt {b ^ 2-4ac}} {2a}