Nejlepší odpověď
Transformace matice je na právě tehdy, když má matice v každém řádku pozici otočení. Řádek jej zmenšete a poté ověřte, zda se počet otočných čepů rovná počtu řádků.
Dobře, s tím, že to není v pořádku, musím teď udělat svůj chvástat.
Kdykoli někdo použije na matici adjektivum „do“ nebo „lineárně nezávislý“, trochu se zakroutím. To je chyba kategorie. Místo toho prosím řekněte: „Jak víte, zda je transformace na?“
Víte, terminologie je v matematice velmi důležitá . Krása lineární algebry spočívá v tom, že vzhledem k lineárnímu systému nebo lineární transformaci si můžete zapsat matici, což je jen obdélník s čísly v něm, spojenými s lineární systém nebo lineární transformace. Poté, co budete dělat různé věci s rámečkem čísel, získáte zpět nejrůznější informace o původním systému nebo transformaci. Lineární algebra je primárně studium těchto vztahů. Většina studentů lineární algebry však při nesprávném použití terminologie odhalí, že zcela nerozumí tomu, jak ve skutečnosti existují samostatné pojmy.
Přídavné jméno „na“ jednoduše neplatí pro matice. To je jako ptát se: „Jak poznáte, že postel je ospalá?“ Skutečnost, že se ptáte na tuto otázku, znamená, že nerozumíte tomu, co ospalý znamená nebo co postel znamená nebo obojí.
Zde je podváděcí list s hlavními typy objektů, se kterými se setkáváme v lineární algebře, a s několika nejběžnějšími terminologiemi používanými k jejich popisu:
Pro matice A, B nejsou následující fráze blábolem:
– A je v (forma sledu řádků / zmenšený formulář sledu řádků)
-pivot (pozice / řádky / sloupce ) z A;
-A je (čtverec / úhlopříčka / invertible / upper triangular / lower triangular)
– (Rank / Determinant / Eigenvalues / Eigenvectors / Characteristic polynomial) of A
– (prázdný prostor / sloupcový prostor) A;
– A je (ekvivalent řádku / podobný) jako B
– Maticová transformace \ mathbf x \ mapsto A \ mathbf x
Pokud A x = b je systém lineárních rovnic , následující fráze nejsou blábol:
– (Řešení / Sada řešení / Obecné řešení) systému
– Systém má (jedinečné řešení / žádná řešení / nekonečně mnoho řešení / n bezplatné proměnné)
– Systém je (konzistentní / nekonzistentní / nedostatečně určený / nadměrně určený)
– (koeficientová matice / rozšířená matice) systému
Pokud T: \ mathbb R ^ n \ mapsto \ mathbb R ^ m je lineární transformace , následující fráze nejsou gibberi sh. Pokud je A matice, pak lze hovořit o transformaci matice \ mathbf x \ mapsto A \ mathbf x, což je lineární transformace.
– (Doména / Codomain / Rozsah) T
– T je (na / one-to-one / invertible)
– Standardní matice T; matice T s ohledem na základy \ beta\_1, \ beta\_2
– (hodnocení / determinant / vlastní hodnoty / vlastní vektory / charakteristika polynomial) of T
Pokud S = \ {v\_1, v\_2, \ ldots, v\_n \} je sada vektorů v \ mathbb R ^ m , následující fráze nejsou blábol. Upozorňujeme, že pokud A je m \ krát n matice, pak sloupce A formuláře taková množina.
– S je lineární (nezávislý / závislý)
-Span of S
-S (zahrnuje V / je základem pro V ), kde V je podprostor \ mathbb R ^ m
Odpověď
Konečná rozměrná čtvercová matice je na právě pro případ, že její determinant je nenulový. Toto můžete nejefektivněji zkontrolovat pomocí Gaussovy eliminace.
Obecněji řečeno, konečná obdélníková matice je na právě v případě, že její transpozice je injektivní, což nastává jen v případě, že řádky (nebo sloupce původní matice jsou, v závislosti na konvenci, kterou používáte pro vstup a jaké výstupy) jsou lineárně nezávislé, což znamená, že matice má celou řadu řádků. Gaussova eliminace je opět vaším přítelem: vložte matici do řady řádků a zkontrolujte, zda je položka vpravo dole nulová (ekvivalentně, zda existují všechny řádky všech nul). Matice je na právě tehdy, pokud je položka vpravo dole nenulová.