Nejlepší odpověď
Nejprve \ sqrt {x} \ stackrel {\ text {def}} {=} x ^ {\ frac12}.
Nyní budu představovat druhou odmocninu jeho Taylorovou řadou. Tuto Taylorovu řadu vypočítám asi na 16, abych byl v bezpečí před otravnými poloměry konvergence. Potom přiblížím \ sqrt {20} nastavením x = 20 v řadě.
Definice Taylorovy řady jakékoli libovolné funkce f \ left (x \ right) je následující:
f \ left (x \ right) = \ displaystyle \ sum\_ {n = 0} ^ {\ infty} f ^ {\ left (n \ right)} \ left (a \ right) \ frac { \ left (xa \ right) ^ n} {n!}
Zde f ^ {\ left (n \ right)} označuje n-tou derivaci f. Budeme muset vypočítat spoustu derivátů a doufejme, že tu bude poněkud snadno patrný vzor.
f \ left (x \ right) bude dále označovat \ sqrt {x}.
„Nulový“ derivát f je jednoduše f. Jako koeficient prvního členu v řadě budu mít f \ left (16 \ right). (Nezapomeňte, že jsem se rozhodl soustředit Taylor Series kolem 16 . Druhá odmocnina 16 je dost snadné – je to jen 4 . Čtyři čtyři jsou 16.)
f \ left (x \ right) = 4 \ frac {\ left (x-16 \ right) ^ 0} {0!} + \ cdots
Dobře. Věci budou trochu náročné. Nyní musíme vypočítat derivaci \ sqrt {x}.
Pravidlo napájení říká, že \ frac {\ text {d}} {\ text {d} x} x ^ n = nx ^ { n-1}. V tomto případě n = \ frac {1} {2} (vzhledem k tomu \ sqrt {x} = x ^ {\ frac {1} {2}}).
Proto \ frac {\ text {d}} {\ text {d} x} \ sqrt {x} = \ frac {1} {2} x ^ {- \ frac {1} {2}} = \ frac {1} {2 \ sqrt {X}}. Další koeficient řady je proto \ frac {1} {2 \ sqrt {16}} nebo jednoduše \ frac {1} {8}.
Další člen v Taylorově řadě bude tedy f „\ left (16 \ right) \ frac {\ left (x-16 \ right) ^ 1} {1!} nebo jednoduše \ frac {1} {8} \ frac {\ left (x-16 \ right) ^ 1} {1!}.
Zde je zatím částečný součet:
f \ left (x \ right) = 4 \ frac {\ left (x-16 \ right ) ^ 0} {0!} + \ Frac {1} {8} \ frac {\ left (x-16 \ right) ^ 1} {1!} + \ Cdots
Dobře. musíme vypočítat sekundu derivaci f \ left (x \ right), nebo jednoduše vypočítat derivaci \ frac {1} {2 \ sqrt {x }}.
To bude vyžadovat použití pravidla řetězu, protože máme jednu funkci složenou v jiné. Jedna funkce bude dále označena g \ left (x \ right) = \ frac {1} { x} a další bude dále označeno h \ left (x \ right) = 2 \ sqrt {x}. Funkce, kterou chceme najít, je derivace: f „\ left (x \ right) = \ frac {1} {2 \ sqrt {x}}. Jinými slovy, chceme najít derivaci g \ left (h \ left (x \ right) \ right).
Řetězcové pravidlo říká, že \ frac {\ text {d}} {\ text {d} x} g \ left (h \ left (x \ right) \ right) = g „\ left (h \ left (x \ right) \ right) h“ \ left (x \ right).
Derivát g \ left (x \ right) je – \ frac {1} {x ^ 2} (podle pravidla Power). Derivát h \ left (x \ right) je \ frac {1} {\ sqrt {x}} (podle pravidla Power a vlastnosti, která implikuje \ left (cf \ left (x \ right) \ right) “ = cf „\ left (x \ right)).
Nyní máme \ frac {\ text {d}} {\ text {d} x} \ frac {1} {2 \ sqrt { x}} = – \ frac {1} {4 \ vlevo (\ sqrt {x} \ vpravo) ^ 3}. Třetí koeficient v řadě je tedy – \ frac {-1} {4 \ left (\ sqrt {16} \ right) ^ 3} (nebo jednodušeji – \ frac {1} {256}).
Třetí člen v řadě je: – \ frac {1} {256} \ frac {(x-16) ^ 3} {3!}
Dosud celý částečný součet:
f \ left (x \ right) = 4 \ frac {\ left (x-16 \ right) ^ 0} {0!} + \ frac {1} {8} \ frac {\ left ( x-16 \ right) ^ 1} {1!} – \ frac {1} {256} \ frac {\ left (x-16 \ right) ^ 2} {2!} + \ cdots
Nyní přejdu k výpočtu čtvrté derivace f \ left (x \ right).
\ frac {\ text {d}} {\ text {d} x} \ frac {-1 } {4 \ left (\ sqrt {x} \ right) ^ 3} = \ frac {3} {8x ^ 2 \ sqrt {x}}
Čtvrtý člen v pořadí bude \ frac {3} {8192} \ frac {\ left (x-16 \ right) ^ 3} {3!}
Součet má nyní čtyři výrazy:
f \ left ( x \ right) = 4 \ frac {\ left (x-16 \ right) ^ 0} {0!} + \ frac {1} {8} \ frac {\ left (x-16 \ right) ^ 1} { 1!} – \ frac {1} {256} \ frac {\ left (x-16 \ right) ^ 2} {2!} + \ Frac {3} {8192} \ frac {\ left (x-16 \ vpravo) ^ 3} {3!} + \ cdots
Pokud budeme pokračovat v tomto vzoru, dostaneme následující vzorec koeficientů:
\ frac {1} {0,25 }, \ frac {1} {8 }, – \ frac {1} {256}, \ frac {3} {8192}, – \ frac {15} {262144}, \ cdots
Nyní je čas najít vzor a vyjádřit posloupnost s explicitním vzorcem.
Devátý jmenovatel může být reprezentován znakem b\_n = \ left (2 ^ {n + 2} \ right) \ left (16 ^ {n-1} \ right), což zjednodušuje až b\_n = 2 ^ {5n-2} (s počáteční hodnotou n jako 0). To bylo jednoduché. A co čitatelé?
Zde je řada čitatelů (ignorujeme změnu znaménka, o kterou se postaráme později):
1,1,1,3,15,105,945, \ cdots
…
Hmm…
…
Vzor čitatelů je docela jednoduchý. Vezměte 945 a vydělte jej 105. Získáte 9. Dále vezměte 105 a vydělte to 15. Získáte 7. Pokračování: 15 děleno 3 je 5, 3 děleno 1 je 3 a 1 děleno 1 je 1. Jedná se o produkty lichých čísel.
\ Levý (n + 2 \ pravý) člen v posloupnosti čitatelů (kromě střídání) je tedy:
t\_n = \ displaystyle \ prod\_ {k = 1} ^ {n} \ left (2k + 1 \ right)
Vzorec pro čitatele je ve formě pí notace. Bylo by lepší, kdyby to bylo vyjádřeno pomocí faktoriálního zápisu.
Pokud vydělíme součin prvních celých čísel 2n + 2 součinem sudých celých čísel od 2 do 2n, dostaneme součin lichých celých čísel od 1 do 2n + 1. Jinými slovy,
t\_n = \ displaystyle \ prod\_ {k = 1} ^ {n} \ left (2k + 1 \ right) = \ frac {\ left (2n + 2 \ right)!} {\ prod\_ {k = 1} ^ {n + 1} 2k}
Nyní můžeme odebrat notaci pí a nahradit ji menším elegantnějším výrazem. Jak vidíte, 2 v termínu se vynásobí n + 1 krát. Můžeme tedy vytáhnout 2, umístit je před hlavní pí a pak zvednout 2 na sílu n + 1. Zbývá nám:
t\_n = \ frac {\ left (2n + 2 \ right)!} {2 ^ {n + 1} \ prod\_ {k = 1} ^ {n + 1} k }
Výše uvedenou rovnici lze napsat jednodušeji jako:
t\_n = \ frac {\ left (2n + 2 \ right)!} {2 ^ {n + 1} \ left (n + 1 \ right)!}
Možná jste si již všimli, že řada daná výrazem přímo nahoře je vypnuta dvěma výrazy. Abychom tento problém vyřešili, musíme jen najít vše n ve vzorci jmenovatele a přidat je o 2. Také budeme muset udělat totéž se zbytkem výrazů s mocninami x.
Vzorec jmenovatele je konečně 2 ^ {5n + 8}.
Protože jsme posunuli řadu, stále musíme někde do výrazu zahrnout ty, které byly vyloučeny. Budou existovat další výrazy, které se objeví před notací sigma ve výrazu. Jedná se o výrazy 4 a \ frac {1} {8} \ left (x-16 \ right).
Koeficient každého výrazu v řadě bude:
c\_n = \ frac {\ frac {\ left (2n + 2 \ right)!} {2 ^ {n + 1} \ left (n + 1 \ right)!}} {2 ^ {5n + 8}}
což zjednodušuje až na:
c\_n = \ frac {\ left (2n + 2 \ right)!} {2 ^ {6n + 9} \ left (n + 1 \ right)!}
To je vzorec pro n-tý koeficient pro řadu (tím byly vyloučeny první dva výrazy, protože tyto výrazy by způsobily chyby ve vzorci pro t\_n).
Nyní můžeme začít psát notace sigma (pamatujte, že jsme posunuli řadu, abychom odstranili drzé výrazy, takže v přední části notace sigma budou nějaké věci).
f \ left (x \ right) = 4 + \ frac {1} {8} \ left (x-16 \ right)
– \ frac {1} {256} \ frac {\ left (x-16 \ right) ^ 2} {2 !} + \ frac {3} {8192} \ frac {\ left (x-16 \ right) ^ 3} {3!} – \ cdots
Je to střídavá řada začínající záporem, takže budeme muset podmínky vynásobit (n + 1) tou silou -1.
f \ left (x \ right) = 4 + \ frac {1} {8} \ left ( x-16 \ right) + \ displaystyle \ sum\_ {n = 0} ^ {\ in fty} \ frac {\ left (-1 \ right) ^ {n + 1} \ left (2n + 2 \ right)!} {2 ^ {6n + 9} \ left (n + 1 \ right)!} \ frac {\ left (x-16 \ right) ^ {n + 2}} {\ left (n + 2 \ right)!}
Vyčištěno:
f \ left (x \ right) = \ sqrt {x} = 2 + \ frac {x} {8} + \ displaystyle \ sum\_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {\ left (x-16 \ right) ^ {n + 1} \ left (-1 \ right) ^ n \ left (2n \ right)!} {2 ^ {6n + 3} n! \ left (n + 1 \ right)!}
HA!
Nyní máme Taylorovu řadu pro tuto takzvanou funkci „odmocnina“, což rozhodně na kalkulátorech není nic. Nyní zbývá jen aproximovat druhou odmocninu dvaceti pomocí Taylorovy řady, kterou jsme právě zjistili.
f \ left (20 \ right) = 2 + \ frac {20} {8 } + \ displaystyle \ sum\_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {\ levý (20-16 \ pravý) ^ {n + 1} \ levý (-1 \ pravý) ^ n \ levý (2n \ pravý )!} {2 ^ {6n + 3} n! \ Left (n + 1 \ right)!}
Zjednodušené:
f \ left (20 \ right) = \ sqrt {20} = 4,5 + \ displaystyle \ sum\_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {\ left (-1 \ right) ^ n \ left (2n \ right)!} {2 ^ {4n + 1 } \ left (n + 1 \ right) \ left (n! \ right) ^ 2}
Napsal jsem výše uvedený výraz do Desmosu a nahradil \ infty 15. Desmos vyhodnotil součet. Druhá odmocnina dvaceti je tedy přibližně 4,472135955.
S touto odpovědí jsem se ponořil do hloubky, protože jinak by to bylo dost nudné.
Každý, kdo může používat internet, má přístup i k nejvíce vědecké kalkulačky. Funkce druhá odmocnina máte vždy k dispozici 24/7/365. Díky tomu zkontroluji svoji odpověď.
4.472135955 \ stackrel {?} {=} 4.472135955 \ přibližně \ sqrt {20}
4.472135955 \ stackrel {\ checkmark} {=} 4,472135955 \ přibližně \ sqrt {20}
Děkujeme za přečtení.
Odpověď
No, zkusme to bez kalkulačky .
Najděte číslo, jehož čtverec je menší než 20, je 4.
Najděte ten, jehož čtverec je těsně nad 20 , je to 5.
Takže, 4 qrt (20)
Jakmile je to identifikováno, spočítejte průměr těchto dvou čísel, což je 4,5
AM ≥ GM a GM = √4 * 5 = √20.
Proto máme √20 ,5
Takže, 4 qrt (20) ,5
Vypočítat 4,5 čtverečního… 4 * 5 + .25 = 20,25…
Je to jen trochu vysoko…
Takže odpověď by měla být kolem 4,5, ne blízko 4 .
Nyní se pokusme najít správnější způsob vyhledávání.
Vezměte f (x) = sqrt (x)
f „(x) = o.5 / sqrt (x)
Nyní, f (20.25) = 4.5, f (20) =?
Vezměte ∆x = -0.25
f (x + ∆x) = f (x) + ∆x * f „(x)
(Taylorova řada je zkrácena na první objednávku nebo můžete zavolat Newtonovi Raphsonova metoda)
Nyní, dosadíme-li x a ∆x, máme,
f (20) = 4,5 -0,25 * 0,5 (1 / 4,5)
= 4,5 – (1/4) (1/9) = 4,5 – 0,1111 / 4
= 4,5 -10 ^ (- 4) [(1000 + 100 + 10 + 1) / 4]
= 4,5 – 10 ^ – (4) [250 + 25 + 2,5 + 0,25]
= 4,5 -0,027775
= 4,472225
Proto, sqrt (20) ~ 4.472225
A to je to, co Google nabídl jako odpověď.
Takže naše odpověď není tak špatná !!