Nejlepší odpověď
Je vhodná doba ukázat, jak matematika funguje, pomocí intuitivního, ale neurčitého konceptu přesně podle chytrých definic.
Co bychom měli myslet pod opakem? Je rozumné rozumět to, že když provádíme nějakou operaci \ vee (říkejte jí jak chcete, banán je skvělý název) například na x a jeho opak x ^ *, výsledkem by měl být nějaký banánově neutrální prvek n. To znamená, že x a „anti-x“ by se měly navzájem rušit, takže x \ vee x ^ * = n. Všimněte si, že v tuto chvíli nevíme vůbec nic o banánu kromě těchto formálních vlastností. Koncept neutrálnosti n by měl v tomto smyslu znamenat, že pro každé y bychom měli mít y \ vee n = y, tj. n neovlivňuje y, když je banán aplikován na oba.
Tento koncept opačné povahy je v matematice zásadní a běžnější název pro x ^ * je inverzní k x s ohledem na operaci \ vee.
Když \ vee je obyčejný součet + čísel, x ^ * je označeno -x, protože x + (- x) = 0 je neutrální prvek. Ve skutečnosti pro každé y, y + 0 = y. Takže v tomto případě je opakem 0 -0, což je 0 samo o sobě!
Když je \ vee násobení, neutrální prvek je 1 (proč?). Pak 0 nemá opak, protože žádný počet krát nula není jedna. Existují kontexty, ve kterých matematici vymýšlejí multiplikativní opak oproti 0, a obvykle tomu říkají \ infty, což dává nějaký smysl.
Odpověď
Toto bylo dříve předmětem debaty v matematické komunitě, dokud Donald Knuth neuvedl věci na pravou míru v roce 1992, takže je pochopitelné, že některé nejasnosti přetrvávají, ale moderní konvencí je definovat 0 ^ 0 = 1, a to z dobrého důvodu.
Co dělá 0 ^ 0 znamenat? Možná jste se naučili, že nulová síla se vypočítá vydělením n-té síly n-tou (n> 0); to nepomůže v případě 0 ^ 0 a vede některé lidi k tomu, aby spojili 0 ^ 0 s nedefinovaným kvocientem \ tfrac {0 ^ n} {0 ^ n} = \ tfrac00. Tito lidé si neuvědomili, že 0 ^ 2 je dokonale dobře definovaná a nelze je spojit s nedefinovaným kvocientem \ tfrac {0 ^ {n + 2}} {0 ^ n} = \ tfrac00 – nemůžeme dokázat zavedením dělení nulou tam, kde předtím žádné neexistovalo.
Ale na dělení se vůbec nemusíme odvolávat:
- 1 \ cdot 0 ^ 3 = 1 \ cdot 0 \ cdot 0 \ cdot 0 = 0,
- 1 \ cdot 0 ^ 2 = 1 \ cdot 0 \ cdot 0 = 0,
- 1 \ cdot 0 ^ 1 = 1 \ cdot 0 = 0,
- 1 \ cdot 0 ^ 0 = 1 = 1.
Pokud nkrát odnesu všechna vaše jablka (n> 0) , nezbývají vám žádná jablka; ale pokud vám 0krát odnesu všechna vaše jablka, stále máte všechna svá jablka. Stručněji, 0 ^ 0 = 1 je případ prázdného produktu , stejně jako 0! = 1.
Proč to tedy trvalo tak dlouho, než jsme byli přijati? Zjevným problémem je, že omezující forma 0 ^ 0 je neurčitá forma v tom smyslu, že \ textstyle \ lim\_ {x \ to a} f (x) = \ lim\_ {x \ to a} g (x) = 0 vám neposkytne žádné informace * o limitu \ textstyle \ lim\_ {x \ to a} f (x) ^ {g (x)}: může to být jakýkoli nezáporný skutečné číslo, \ infty, nebo nemusí existovat, v závislosti na konkrétních funkcích. Zdálo se, že to bylo v rozporu s výše uvedenou jednoduchou intuicí po více než století. Důležité je ale uvědomit si, že neurčitý omezující forma 0 ^ 0 nám nebrání přiřadit definici k hodnotě 0 ^ 0 . Nejedná se o stejný objekt: omezující forma 0 ^ 0 je pouze zkratkou pro výše uvedený limit a jeho neurčitost pouze znamená, že umocňování nemůže být spojitou funkcí v libovolném sousedství (0, 0).
To by nemělo být příliš překvapivé: například \ lfloor 0 \ rfloor je také neurčitý tvar (\ textstyle \ lim\_ {x \ to 0} \ lfloor x \ rfloor neexistuje, \ textstyle \ lim\_ {x \ to 0} \ lfloor x ^ 2 \ rfloor = 0, \ textstyle \ lim\_ {x \ to 0} \ lfloor -x ^ 2 \ rfloor = -1 ), přesto stále píšeme \ lfloor 0 \ rfloor = 0 jako hodnotu.
A tak nyní přiřadíme 0 ^ 0 užitečnou hodnotu, která je 1. Proč je to užitečné? Protože nám umožňuje manipulovat s exponenciály bez přidání zvláštních případů .
- Pokud \ textstyle p (x) = \ sum\_ {n = 0} ^ d a\_nx ^ n je polynom , pak p (0) = a\_0 je jeho konstantní člen – ale nemůžeme ani psát polynom tímto zjevným způsobem, pokud 0 ^ 0 = 1. Totéž platí pro nekonečnou mocninnou řadu, kde d je nahrazeno \ infty.
- Vyhodnocení nekonečné geometrické řady : \ begin {split} \ textstyle (1 – x) \ sum\_ {n = 0} ^ \ infty x ^ n & = \ textstyle \ sum\_ {n = 0} ^ \ infty x ^ n – x \ sum\_ {n = 0} ^ \ infty x ^ n \\ & = \ textstyle \ sum\_ {n = 0 } ^ \ infty x ^ n – \ sum\_ {n = 0} ^ \ infty x ^ {n + 1} \\ & = \ textstyle \ sum\_ {n = 0} ^ \ infty x ^ n – \ sum\_ {n = 1} ^ \ infty x ^ n \\ & = \ textstyle \ sum\_ {n = 0} ^ 0 x ^ n = 1, \ end {split} tak \ textstyle \ sum\_ {n = 0} ^ \ infty x ^ n = \ frac {1} {1 – x}. je zcela platný (a dokonce nepřetržitý) pro | x | , včetně at x = 0, ale vyžaduje 0 ^ 0 = 1.
- binomická věta (a + b) ^ n = \ textstyle \ sum\_ {k = 0} ^ n \ tbinom nk a ^ {nk} b ^ k platí, i když a = 0 nebo b = 0, ale vyžaduje 0 ^ 0 = 1.
- pravidlo napájení \ tfrac {d} {dx} x ^ n = nx ^ {n – 1} (n \ ne 0) platí i pro n = 1 v x = 0, ale vyžaduje 0 ^ 0 = 1.
- Odpověď Jacka Huizengy uvádí další příklad: počet funkcí f \ colon S \ to T je \ lvert T \ rvert ^ {\ lvert S \ rvert}, ale pouze pokud 0 ^ 0 = 1.
- V Církevní číslice kódování přirozených znaků, umocňování je pouze funkční aplikace a 0 ^ 0 = (\ lambda f. \ lambda x. x) (\ lambda f. \ lambda x. x) = (\ lambda x. x) = 1.
* Smysl, ve kterém 0 ^ 0 je neurčitá forma, je slabší než u jiných neurčitých forem. Pro složité analytické funkce f, g s \ textstyle \ lim\_ {x \ to a} f (x) = \ lim\_ {x \ to a} g (x ) = 0, vždy máme \ textstyle \ lim\_ {x \ až a} f (x) ^ {g (x)} = 1, pokud f není shodně nula (v takovém případě limit neexistuje).
Donald Knuth dává v zásadě stejnou odpověď v „ Dvě poznámky k notaci “ (1992, s. 6), spolu s historickým pozadím:
Avšak [Libriho] papír [33], když se původně objevil, vytvořil několik vln v matematických vodách, protože vyvolal polemiku o tom, zda je definována 0 ^ 0. Většina matematiků souhlasila s tím, že 0 ^ 0 = 1, ale Cauchy [5, strana 70] uvedl 0 ^ 0 společně s dalšími výrazy jako 0/0 a \ infty – \ infty v tabulce nedefinovaných forem. Libriho ospravedlnění rovnice 0 ^ 0 = 1 nebylo ani zdaleka přesvědčivé a komentátor, který podepsal své jméno, jednoduše „S“, se dostal k útoku [45]. August Möbius [36] bránil Libriho tím, že uvedl důvod svého bývalého profesora k domněnce, že 0 ^ 0 = 1 (v podstatě důkaz, že \ textstyle \ lim\_ {x \ až 0 ^ +} x ^ x = 1). Möbius také šel dále a předložil domnělý důkaz, že \ textstyle \ lim\_ {x \ až 0 ^ +} f (x) ^ {g (x)} = 1 kdykoli \ textstyle \ lim\_ {x \ až 0 ^ +} f ( x) = \ lim\_ {x \ to 0 ^ +} g (x) = 0. Samozřejmě se „S“ poté zeptalo [3], zda Möbius věděl o funkcích, jako je f (x) = e ^ {- 1 / x} a g (x) = x. (A papír [36] byl v tichosti vynechán z historických záznamů, když byla nakonec publikována shromážděná Möbiova díla.) Debata se tím zastavila, zjevně závěrem, že 0 ^ 0 by měla být nedefinovaná. , ne, deset tisíckrát ne! Každý, kdo chce binomickou větu \ displaystyle (x + y) ^ n = \ sum\_ {k = 0} ^ n \ binom nk x ^ ky ^ {n – k} podržet alespoň jedno nezáporné celé číslo n musí věřit, že 0 ^ 0 = 1, protože můžeme připojit x = 0 a y = 1, abychom dostali 1 nalevo a 0 ^ 0 napravo.
Počet mapování z prázdné sady na prázdnou sadu je 0 ^ 0. To musí být 1.
Na druhou stranu Cauchy měl dobrý důvod považovat 0 ^ 0 za nedefinovanou omezující forma v tom smyslu, že mezní hodnota f (x) ^ {g (x)} není známa a a priori když f (x) a g (x) přistupují k 0 nezávisle. V tomto mnohem silnějším smyslu je hodnota 0 ^ 0 méně definovaná než řekněme hodnota 0 + 0. Cauchy i Libri měli pravdu, ale Libri a jeho obránci nechápali, proč je pravda na jejich straně.