Nejlepší odpověď
Vzhledem k trojúhelníku Rt, strany 18, 24, 30; Najděte poloměr vepsané kružnice.
Krátká odpověď; vzorce poloměru vepsané kružnice v trojúhelníku Rt jsou
Oblast / (1/2 obvodu)
Oblast je Výška X Polovina základny; to je
18 * 12 = 216
Obvod je 18 + 24 + 30 = 72; a děleno 2
72/2 = 36
Poloměr kruhu je 216/36 = 6 cm
Dlouhá odpověď
Konstrukce:
Rozdělte AC a CA, na křižovatce zkontrolujte místo s půlící částí BC, Je to v pořádku, takže pojďme … ..
Díky kompasu a tužce se kruh dotýká kterékoli strany a poté se dotýká dalších 2 stran.
Průsečík štítků AD a CE, O.
Z ní klesne kolmo na každou stranu na P, na Q a na R.
Průsečík O je ve stejné vzdálenosti od stran AB, BC a AC. (Viz III níže)
I.
Zvažte trojúhelníky, BPO a BRO.
Úhly BO = BO (konstrukce).
Linka BO je společná pro oba trojúhelníky.
Úhly RO = PO (Constructed Rt Angles).
Ergo Triangles BPO a BRO jsou shodné.
Z toho vyplývá, že řádek BP = BR.
Ale my víme, že BR = BC – r.
Takže BP = BC – r; nebo 24 – r.
Stejným argumentem můžeme dokázat PA = AC -r: nebo 18 – r.
Takže.
BP = 24 – r; PA = 18 – r; a BP + PA = BA.
Kombinace závěrů …… BP + PA = (24 – r) + (18 – r) Nahrazení BA za BP a PA a zjednodušení….
Takže BA = 42 – 2r.
Ale BA = 30 (zadáno). Náhrada za BA.
30 = 42 – 2r … zjednodušení …. 2r = 42 – 30.
2r = 12.
Ergo r = 6.
QED.
II.
Bylo zjištěno, že poloměr => 6 jednotek.
Zdá se, že aritmetika je,
součet všech stran této řady trojúhelníků, / 12 = poloměr zapsaného kruh.
18 + 24 + 30 = 72
Poloměr = 72/12 = 6.
Doufám, že to pomůže.
Re ; vzorce v dalších odpovědích, děkuji každému. Nové pro mě!… Lol. Každý den se na Quoře učím něco nového. Můj oblíbený je „area / (0,5 * perimeter) = inscked circle radius“… .216 / 36 = 6…
EDIT 6/26 / 17
III.
Z konstrukce postavy
Trojúhelníky BPO a BOR jsou shodné, prokázané výše. Rovněž lze prokázat shodnost APO a AOQ.
Ergo
Řádky OP = OR a OQ = OP. Protože OP se rovná jak OR, tak OQ, jsou si navzájem rovny, to znamená – OR = OQ. V důsledku toho je to důkaz, že průsečík půlení jeho úhlů JE středem obrázku, pravoúhlým trojúhelníkem a ve stejné vzdálenosti od jeho 3 stran.
QED
Odpověď
Děkujeme, že jste se zeptali na tuto pěknou otázku, pane Lloyde – nejen odpověď na vaši otázku je ano , ale je jich nekonečně mnoho (rovinné ) trojúhelníky s vlastnostmi, které požadujete, a jak se ukázalo, je možné některé pěkně třídit podle poloměrů jejich kruhů takovým způsobem že uvedené poloměry sledují nebo stínují množinu přirozených čísel 1, 2, 3, 4 atd.
Jinými slovy, pomocí nadcházející diskuse jako plánu pro potenciálně formálnější důkaz, ukázat mechanický způsob, jak generovat trojúhelník, jehož délky jsou celé strany celá čísla a délka poloměru jehož incircle je celé číslo n dané předem.
Boční lišta: tyto typy otázek mít co dělat s elementární teorií čísel a velmi málo společného s geometrií.
Jedna rodina (rovinných) trojúhelníků, která je zaručeno , že vlastnosti požadované hned za pálkou jsou takzvané Pythagoreanské trojúhelníky – pravé (prozatím) trojúhelníky, jejichž délky jsou celé strany celá čísla.
Souhlasíme s tím, že délky stran Pythagorovského trojúhelníku jsou celé, přísně kladná čísla a, bac taková, že:
a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2 \ tag {1}
Souhlasme také, že když všechny tři celá čísla a, b, c jsou coprime, pak se odpovídající Pythagorovský trojúhelník nazývá primitivní a předpokládejme na chvíli, že se nám nějak podařilo najít jeden takový primitivní trojúhelník a\_0 , b\_0, c\_0.
Protože relace v ( 1 ) nemá žádné další volně se pohybující výrazy, vyplývá z toho, že škálováním všech čísel tvořících primitivní Pythagorovský trojúhelník se stejným přísně kladným celým číslem k:
\ left (ka\_0 \ right) ^ 2 + \ left (kb\_0 \ right) ^ 2 = \ left (kc\_0 \ right) ^ 2 \ tag * {}
získáme nový trojúhelník, který bude:
- také Pythagorovský
- už není primitivní (pro k> 1)
- podobný svému mateřskému primitivnímu Pythagorovu trojúhelníku a\_0, b\_0, c\_0
- větší než jeho rodičovský primitivní Pythagorovský trojúhelník a\_0, b\_0, c\_0
Následuje že existuje nekonečně mnoho neprimitivních Pythagorovských trojúhelníků generovaných (jediným) daným primitivním Pythagorovským trojúhelníkem. Daný primitivní Pythagorovský trojúhelník je nejmenší ve své své rodině, protože délky jeho stran nelze dále zmenšovat. Žádné dva odlišné primitivní Pythagorovy trojúhelníky nejsou podobné.
Mimochodem pozorujeme, že matematická tvrzení obvykle nezahazujeme nečinně – dokážeme je tehdy a tam, ale proto, že ohniskem této odpovědi nejsou důkazy výše uvedené vlastnosti je zatím považujeme za pravdivé z víry (v případě zájmu si vyžádejte příslušné důkazy zvlášť).
Proto je tradičně původním zájmem obnovit délky stran primitivní Pythagorovy trojúhelníky, protože všechny ostatní Pythagorovy trojúhelníky lze generovat z jejich primitivních protějšků, jak je vysvětleno výše.
Cvičením můžeme ukázat, že úplná parametrizace řešení ( 1 ) je dána vztahem:
a = m ^ 2 – n ^ 2, \; b = 2mn, \; c = m ^ 2 + n ^ 2 \ tag {2}
kde m a n jsou všechny páry celých čísel coprime opačné parity s m> n. Bit opačná parita znamená, že jedno z těchto čísel, ve skutečnosti nezáleží na tom, které z nich, musí být liché, zatímco druhé – musí být sudé.
Opět platí, že pokud máte zájem, položte samostatnou otázku, odkud ( 2 ) pochází – rádi vám představíme odpočet tato skutečnost mimo pásmo, aby neznečišťovala aktuální odpověď příliš technickými informacemi.
Existuje alternativní parametrizace řešení ( 2 ), které zde také vynecháme.
Nyní zvažte libovolný pravý trojúhelník se stranami a a b, přeponou c a inradius r (obr. 1):
Pokud přidáme zelenou rovnici k modré rovnici zobrazené na obrázku 1 a použijeme šedou rovnici pro x + y, pak najdeme:
c + 2r = a + b \ tag * {}
odkud:
r = \ dfrac {a + b – c} {2} \ tag {3}
Nyní předpokládejme, že výše uvedené je v pořádku T trojúhelník je primitivní Pythagorovský trojúhelník. Vezmeme-li hodnoty a, b a c z ( 2 ) a vložíme je do ( 3 ) pak budeme mít:
r = \ dfrac {m ^ 2-n ^ 2 + 2mn – m ^ 2 – n ^ 2} {2} \ tag * {}
Zde se m ^ 2s zruší a n ^ 2s se zdvojnásobí:
r = \ dfrac {2mn – 2n ^ 2} {2} \ tag * {}
Při vyjmutí 2n z výše uvedeného jmenovatele se dostaneme na:
r = \ dfrac {2n (m – n)} {2} \ tag * {}
což znamená, že:
r = n (mn) \ tag {4}
což nám říká, že v any primitivní Pythagorovský trojúhelník, délka jeho inradia je celé číslo (nezapomeňte na omezení m> n, viz ( 2 )), protože rozdíl dvě celá čísla je vždy celé číslo a součin dvou celých čísel je vždy celé číslo.
Dále zvažte jakýkoli primitivní k-trojúhelník – tj. vezměte v úvahu Pythagorovský trojúhelník, jehož délky byly všechny strany zvětšeno jednotně nějakým přísně kladným celým číslem k> 1. Protože takové délky vstupují do rovnice ( 3 ) jako přísně lineární výrazy, abychom získali délku odpovídajícího inradia, musíme znásobit RHS ( 4 ) od k:
r\_k = kn (mn) \ tag {5}
Ať tak či onak, délka inradia Pythagorovského trojúhelníku je vždy celé číslo, protože objekty (čísla) na RHS ( 4 , 5 ) vždy jsou – rozdíl dvou celých čísel je vždy celé číslo a součin dvou celých čísel je vždy celé číslo.
Všimněte si, že rovnici ( 5 ) lze číst zprava doleva . To znamená, že můžeme vzít celá čísla k, m, n jako vstup a poté pomocí ( 5 ) vygenerovat jako výstup integrální inradius.
Nyní se pokusme jít opačným směrem – podívejme se, zda můžeme provést objednávku na délku inradia a na základě této informace obnovíme délky odpovídajícího Pythagorovského trojúhelníku.
Zdá se, že sám Pythagoras před mnoha lety dokázal vyrobit částečnou parametrizaci řešení ( 1 ) studiem Pythagorovských trojúhelníků, jejichž délky na kratších stranách tvoří posloupnost po sobě jdoucích lichých přirozených čísel a = 2n + 1.
V takovém případě, aby příslušná čísla zůstala celá délka strany b a délka přepony c záhadného Pythagorovského trojúhelníku se musí lišit v jednotě: c = b + 1. Tedy od ( 1 ) máme:
(2n + 1) ^ 2 + b ^ 2 = (b + 1) ^ 2 \ tag * {}
Otevření výše uvedených závorek:
4n ^ 2 + 4n + 1 = b ^ 2 = b ^ 2 + 2b + 1 \ tag * {}
vidíme, že b ^ 2s a 1s se ruší:
4n ^ 2 + 4n = 4n ( n + 1) = 2b \ tag * {}
což znamená, že:
b = 2n (n + 1), \; c = b + 1 = 2n (n + 1) + 1 \ tag {6}
Vrácení těchto hodnot zpět do ( 3 ) , zjistíme, že:
r = \ dfrac {2n + 1 + 2n ^ 2 + 2n – 2n ^ 2 – 2n – 1} {2} \ tag * {}
r = \ dfrac {2n} {2} = n \ tag {7}
Není to hezké?
Tedy – odkaz na třídění.
Jinými slovy, pokud nám dáte libovolné přirozené číslo n> 0, budeme schopni vygenerovat Pythagorovský trojúhelník, který má přesně ty vlastnosti, jaké požadujete:
a = 2n + 1, \; b = 2n (n + 1), \; c = 2n (n + 1) + 1, \; r = n \ tag {8}
což znamená, že výše uvedená rodina vzorců vyjmenuje integrální délku inradius trojúhelníku s integrálními délkami jeho stran prostřednictvím množiny přirozených čísel \ mathbb {N}.
Znamená to také, že můžeme naprogramovat počítačový program, řekněme v programovacím jazyce C, jako médium, s předstihem který na vyžádání vygeneruje požadované trojúhelníky:
#include
#include
extern int
main( int argc, char* argv[] )
{
int i;
int n;
int a;
int b;
int c;
for ( i = 1; i
{
n = atoi( argv[ i ] );
a = 2*n + 1;
b = 2*n*(n + 1);
c = b + 1;
}
return 0;
}
Za předpokladu, že jsme výše uvedený kód uložili do souboru ptr.c, vytvořte jej takto:
gcc -g - o ptr ptr.c
a spusťte jej takto:
./ptr 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
1 3 4 5
2 5 12 13
3 7 24 25
4 9 40 41
5 11 60 61
6 13 84 85
7 15 112 113
8 17 144 145
9 19 180 181
10 21 220 221
11 23 264 265
12 25 312 313
13 27 364 365
kde pro levné vzrušení jsme dramaticky zahrnuli přeponu délky 365.
Náš program přijímá z příkazového řádku spoustu přirozených čísel a pro každé takové číslo n generuje Pythagorovu abeceduTrojúhelník, jehož strany stran zaručují, že délka inradia trojúhelníku se rovná vstupnímu přirozenému číslu n.
Formát našeho výstupu je: první sloupec zobrazuje hodnotu inradius n, druhý sloupec zobrazuje hodnotu a, třetí sloupec zobrazuje hodnotu b a čtvrtý sloupec ukazuje hodnotu c.
Navíc oblast S našich Pythagorovských trojúhelníků:
S = \ dfrac {ab} {2} \ tag {9}
je také zaručeno celé číslo, protože vložením hodnot a a b z ( 2 ) do ( 9 ), najdeme:
S = \ dfrac {\ left (m ^ 2 – n ^ 2 \ right) 2mn} {2} = \ left (m ^ 2 – n ^ 2 \ right) mn \ tag * {}
což je vždy celé číslo.
A konečně, situace s libovolným čtením – ne vpravo, trojúhelníky jsou delikátnější.
Pokud rozdělíme takový trojúhelník na tři menší trojúhelníky těsné, bez mezer a bez přesahů, jak je znázorněno níže (obr.2):
pak, protože v tomto případě se celek rovná součtu jeho částí, pro oblast S z takového trojúhelníku budeme mít:
S = \ dfrac {ar} {2} + \ dfrac {br} {2} + \ dfrac {cr} {2} \ tag * {}
což znamená, že:
S = r \ cdot p = \ dfrac {rP} {2} \ tag * {}
pokud souhlasíme, že P je úplný obvod trojúhelníku a p je semiperimetr .
Z toho tedy vyplývá, že pro hodnotu inradius r máme:
r = \ dfrac {2S} {P} = \ dfrac {S} {p} \ tag * {}
Tedy, aby r bylo celé číslo, pak buď P musí celé číslo-dělit 2S, nebo p musí celé číslo-dělit S.
Kvůli argumentu souhlasíme s pojmenováním rovinného ne pravé trojúhelníky, jejichž délky jsou celá čísla a jejichž plocha je celé číslo Diophantine .
Nyní existují (složené) diofantické trojúhelníky takové, že:
- jsou kompa sed dvou Pythagorovských trojúhelníků podél jedné společné strany a
- délka jejich inradia je ne celé číslo
Důkaz: oblast složeného diofantického trojúhelníku 5, 5, 6, který se skládá ze dvou 3,4,5 Pythagorovských trojúhelníků podél strany b = 4, je 12, zatímco délka jeho semiperimetru je 8. Ale 8 nerozdělí celé číslo 12. \ blacksquare
Tam existují (složené) diofantické trojúhelníky takové, že:
- jsou složením dvou Pytagorových trojúhelníků podél jedné společné strany a
- délky jejich inradius je celé číslo
Důkaz: oblast 13,14, 15 složený diofantický trojúhelník, který se skládá ze dvou Pythagorovských trojúhelníků 5,12,14 a 9,12,15 podél strany b = 12, se rovná 84, zatímco jeho semiperimetr se rovná 42. Ale 42 dělá celočíselné dělení 84 : 42 \ cdot 2 = 84. \ blacksquare
Existují (nekompozitní?) Diofantické trojúhelníky takové, že:
- nemohou být složeny ze dvou Pythagorovských trojúhelníků, ale
- délka jejich inradius je celé číslo
Důkaz: plocha trojúhelníku 65 119 180 se rovná 1638, zatímco jeho semiperimetr je 182. Ale 182 dělí celé číslo 1638: 182 \ cdot 9 = 1638.
V kandidátském pravoúhlém trojúhelníku se stranami a a b se dvojnásobek plochy 2S rovná součinu a a b, viz ( 9 ): 2S = a \ cdot b. Proto musí obě čísla aab rozdělit 2S.
Je tomu tak u našeho trojúhelníku?
Ne.
Žádná z délek stran náš trojúhelník rozděluje velikost rovnou 1638 \ cdot 2.
Důvod: Primární faktorizace 1638 \ cdot 2 se rovná 2 ^ 2 \ cdot 3 ^ 2 \ cdot 7 \ cdot 13:
1638 \ cdot 2 = 2 ^ 2 \ cdot 3 ^ 2 \ cdot 7 \ cdot 13 \ tag * {}
Prvotní faktorizace délek stran našeho trojúhelníku jsou :
65 = 5 \ cdot 13 \ tag * {}
119 = 7 \ cdot 17 \ tag * {}
180 = 2 ^ 2 \ cdot 3 ^ 2 \ cdot 5 \ tag * {}
Proto lze délku žádné výšky našeho trojúhelníku vyjádřit jako celé (přirozené) číslo, a proto nelze takový Diophantinův trojúhelník složený ze dvou Pythagorovských trojúhelníků podél společné strany, která musí hrát roli výšky cílového trojúhelníku. \ blacksquare
Vidíme, že abychom mohli udělat rozsáhlé prohlášení o délce inradia Diophantinova trojúhelníku, musíme provést pečlivější analýzu situace a se vší pravděpodobností se podívat na racionální trojúhelníky .
Doufám, že jsem naši diskusi příliš nezkomplikoval, ale je to to, čím je – většinou základní teorie čísel.