Nejlepší odpověď
Racionální čísla jsou relativně přímočará. Jsou uspořádanou dvojicí celých čísel (m, n) s n \ neq0 v rámci ekvivalenčního vztahu:
\ quad (a, b) \ equiv (c, d) \ Leftrightarrow ad = bc
Co? To mělo být přímé? Dobře, ano. Celá ta ekvivalence gobbledygook byla jen proto, aby se ujistil, že polovina byla polovina, ať už to bylo (1,2) nebo (2,4) nebo dokonce (-33, -66). A všechno by mi připadalo známější, kdybych to napsal spíše jako \ frac12 = \ frac24 než (1,2) \ equiv (2,4), protože 1 \ times4 = 2 \ times2. Ale přísně vzato, tím přesně začíná přísná definice racionálních čísel.
Nyní, když se jedná o jednoduché věci, co je to skutečné číslo? Přes jejich jméno a jejich všudypřítomnost jsou skutečná čísla spíše komplikovaná zvířata. Snad nejjednodušší konstrukcí, která mapuje naši intuici, je konstrukce Dedekindových řezů . Dedekindský řez čísel Rational, \ Q, je rozdělení na dvě části neprázdné sady (A, B) takové, že A \ cup B = \ Q, každý prvek A je přísně menší než každý prvek B a A nemá žádný největší prvek. Vím, vaše hlava se už točí, ale nápad je velmi jednoduchý: v určitém okamžiku pouze ořízneme číselnou řadu – všechny Rationals nalevo jsou v A a všechny Rationals napravo (nebo na bod) jsou v B. Pokud B má nejméně element, náš řez byl na racionálním čísle. Pokud B nemá nemá nejméně element, náš řez byl na Iracionální číslo. Následující představují s Dedekindovým řezem pro druhou odmocninu dvou (iracionální číslo):
(Zdroj: Soubor: Dedekindův řez – druhá odmocnina two.png – Wikipedia )
V obou případech představuje řez (A, B) reálné číslo. Protože B = \ Q \ setminus A, můžeme reprezentovat reálné číslo samotným A: neprázdná sada racionálních čísel, která je uzavřena níže a nemá žádný největší prvek. V určitém smyslu iracionální reálná čísla vyplňují „mezery“ v racionálních číslech.
Jedním z problémů této intuice „mezer“ je to, že racionální čísla jsou v realích hustá – mezi jakýmikoli dvěma odlišnými reálnými čísly existuje Rational (ve skutečnosti nekonečně mnoho Rational). Toto by vás mohlo přimět si myslet, že existuje alespoň tolik racionálních čísel, kolik je iracionálních čísel. Ale ne, mohutnost množiny iracionálních čísel je striktně větší než množina racionálních čísel. K reálnému číslu „na konci“ množiny A racionálních čísel se nějak přidá celá řada dalších reálných čísel, která nemohu „popsat“ ve vztahu k množině A. Jak jsem řekl, skutečná čísla jsou komplikovaná zvířata: většina z nich „nelze ani popsat navzdory jejich domnělé„ realitě “.
Naznačuji zásadní rozdíl mezi racionálními čísly a reálnými čísly čísla, která ke správnému pochopení skutečně vyžadují diplom z matematiky, ale doufám, že máte alespoň příchuť rozdílu, ne-li plné zhodnocení jemností.
Odpověď
Skutečná čísla jsou čísla mezi racionálními čísly . Co toto tvrzení ve skutečnosti znamená?
Zvažte druhou odmocninu čísla 2. Je možné ukázat, že to není racionální. Můžeme však zjistit, jaká je jeho hodnota, s jakoukoli mírou přesnosti, a to tak, že identifikujeme všechny racionály, které jsou nižší než ona, a všechny racionály vyšší než ona. Je mezi dvěma sadami racionálních čísel.
To platí pro jakékoli reálné číslo – pokud to není také racionální. Pro jakékoli reálné číslo existuje sada racionálních čísel, která jsou všechna menší nebo stejná, a další sada racionálních čísel, která jsou všechna větší nebo stejná a každé racionální číslo je v jedné nebo druhé z těchto dvou sad . Tento druh rozdělení racionálních je klíčem ke konstrukci reálných čísel z racionálních pomocí Dedekindových řezů.
Vezměme si dvě sady racionálních čísel, L (nižší) a H (vyšší), takže každé číslo v H je vyšší než každé číslo v L a obě sady společně zahrnují každé racionální číslo. Víme, že takové množiny L a H existují pro každé reálné číslo, které můžeme vypočítat algebraicky, ale nejsou to jediné takové množiny.
Obecně platí, že L může mít nejvyšší číslo, Lmax ,, nebo H může mít nejnižší číslo Hmin. V těchto případech by Lmax nebo Hmin byla horní mez L a dolní mez H, a bylo by to racionální. Pokud neexistuje ani Lmax, ani Hmin – a my víme, že nebudou, kdybychom vytvořili množiny ze známého iracionálního čísla – definujeme horní hranici L (což je také dolní hranice H) jako reálné číslo.
Ve skutečnosti pokaždé, když aproximujeme iracionální číslo desetinným zlomkem, vytváříme takový oddíl. Pokud například řekneme iracionální číslo 1,2345…, řekneme tím, že je větší než 1,2345, ale menší než 1.2346, a když píšeme více čísel v desítkové expanzi, přidáme více čísel k množinám, která jsou větší než a menší než.
Pomocí těchto desetinných expanzí můžeme odvodit důležitý rozdíl mezi racionálními čísly a reálná čísla. Racionální čísla jsou spočitatelná ; to znamená, že mohou být umístěny do korespondence 1: 1 s celými čísly. Skutečná čísla nelze spočítat.
Jaký je rozdíl mezi reálnými a racionálními čísly?