Kolik nul je ve 2 crore?

Nejlepší odpověď

Lze na ně odpovědět třemi způsoby.

1. 2,00,00 000 – To jsou 2 crore. Počet nul je 7.
2. 2 crore – žádné nuly zde. Pouze 2 a Crore, stále crore má v sobě „o“, nelze považovat za nulu.
3. 2,00,00 000 znamená, nuly, které jsou v číslech ebo = 2,00,00 000 jde z rozsah negativní nekonečna do 2 milionů rupií. Superpočítače také nemohou vypočítat počet nul ve výše uvedeném rozsahu.

Odpověď

Otázka: „Proč je jakékoli číslo zvýšeno na sílu nuly rovnou jedna, ale nula zvednutá na sílu nuly nedává žádnou odpověď? “ je v rozporu. Tvrdí, že jakékoli číslo (bez uvedení toho, co představuje číslo) bez jakékoli výjimky zvýšeno na exponent 1 (například prostřednictvím textu jako „libovolné číslo kromě \_\_\_“), a poté pokračuje tím, že 0⁰ „neodpovídá“. Protože 0 je číslo, první tvrzení znamená 0⁰ = 1, zatímco druhé tvrzení říká, že 0⁰ není definováno – nemůžeme mít obě pravdivé.

Ve skutečnosti by první tvrzení mělo být považováno za bezpodmínečně pravdivé a druhé tvrzení jako nepravdivé; proto 0⁰ = 1.

Obvyklé argumenty volající po 0⁰ mají být považovány za nedefinované:

1. 0⁰ = 0¹⁻¹ = 0¹ / 0¹ = 0/0, které je nedefinováno, takže 0⁰, u kterého bylo prokázáno, že se rovná 0/0, musí být také nedefinováno. (Některá kladná hodnota může být nahrazena 1.) Toto se pokouší použít zákon dělení sil, ale je to neplatný pokus. Příslušný zákon dělení sil není pouze x ^ {a-b} = \ frac {x ^ a} {x ^ b}, ale má omezení nebo podmínky, které je třeba uvést a dodržovat. Jedním z několika omezení je to, že žádná část aplikace tohoto dělícího zákona moci nesmí zahrnovat dělení 0 nebo převrácenou hodnotu 0. Toto omezení bylo porušeno, takže nesmíme psát 0¹⁻¹ = 0¹ / 0¹. Protože rovnost pro střední krok neplatí, nemůžeme říci, že levý konec se rovná pravému konci. Stejný neplatný argument lze použít k prokázání, že 0³ je nedefinováno, což víme, že je to nesmysl: 0¹ = 0 podle definice exponentu 1; 0² = 0⁺⁺⁺ = 0¹ × 0¹ = 0 × 0 = 0; 0⁴ = 0²⁺² = 0² × 0² = 0 × 0 = 0; 0³ = 0⁴⁻¹ = 0⁴ / 0¹ = 0/0, což není definováno.
2. x ^ 0 = 1 pro všechny nenulové x . 0 ^ x = 0 pro všechna nenulová x . Necháme-li x = 0, pak by výše uvedená tvrzení znamenala 0⁰ = 1 a 0⁰ = 0, což je rozpor, takže 0⁰ musí být nedefinováno. Když lidé argumentují, nezastavují se dostatečně dlouho na to, aby přemýšleli o tom, co říkají. Druhé prohlášení je platné pouze pro pozitivní reálné x . Je nesprávné říkat „pro všechny nenulové x “ pro druhý vztah. První vztah však skutečně platí pro negativní reálné x i pro pozitivní reálné x , navíc kromě toho platí, že první vztah platí pro všechny nenulové komplexy a čtveřice x , což druhý vztah nemůže říci. Nemá smysl přisuzovat stejnou váhu případu, který funguje pouze pro pozitivní reálné hodnoty, případu, který funguje pro všechny nenulové reálné, komplexní a čtvercové hodnoty – mnohem širší obecnost těchto hodnot stojí za hodně. U druhého vztahu je navíc x = 0 případ na hranici mezi smysluplnými a nemyslitelnými případy, tak proč bychom předpokládali, že smysluplné případy platí ty, které platí a platí bez úpravy?
3. Limit x ^ y jako x a y nezávisle přístup 0 neexistuje, protože hodnota trendu závisí na cestě přístupu x a y směrem k 0 – existuje široké pásmo možných hodnot. (Někdy je tento argument kombinován s # 2 výše.) Problém s tímto argumentem spočívá v tom, že to, zda je funkce definována v bodě, a pokud ano, jaká je její hodnota, je nezávislé na tom, zda má funkce limit blížící se tomuto bodu, a, pokud ano, jaká je hodnota limitu. Je docela možné, že žádný z nich neexistuje; je docela možné, že jeden existuje, ale druhý neexistuje; je docela možné, že existují obě, v takovém případě mohou nebo nemusí být dvě hodnoty stejné. Výsledkem je skutečnost, že x ^ y nemá limit jako x a y přístup 0 neříká nic o tom, zda je 0⁰ definováno nebo nedefinováno. Diskuse o mezích s ohledem na to, zda má 0⁰ hodnotu, je naprosto irelevantní.Funkce signum je příkladem funkce s limitem závislým na cestě, protože x se blíží k 0, ale sgn 0 je definována – zejména sgn x je definováno jako 1 pro pozitivní reálné x , 0 pro x = 0 a −1 pro záporné reálné x , takže x blížící se 0 zleva dává limit −1 a x blížící se 0 zprava dává hodnotu 1, přičemž konflikt znamená, že limit ne existují, i když sgn 0 = 0. Takový nedostatek limitu nás neospravedlňuje, když říkáme, že sgn 0 musí být nedefinováno.

Tím jsou odstraněny nejběžnější argumenty, které se používají k ospravedlnění považovat 0⁰ za nedefinovanou, takže nyní vyvstává otázka, jaká hodnota, pokud vůbec, má být 0⁰ definována jako?

Základní argument zahrnuje princip operace nullary aplikovaný na multiplikátor ication. Produkt žádných faktorů nelze považovat za multiplikativní identitu 1; symbolicky \ prod\_ {i = 1} ^ {0} x\_i = 1. (pro výpočet x ⁰, x\_i = x; pro výpočet 0 !, x\_i = i.) Tato vlastnost nezávisí na tom, zda jsou všechny kandidáty x\_i nenulové, nebo některé nenulové a některé jsou 0 nebo všechny jsou 0. Neexistují žádné výjimky. Máme tedy 0! = 1 a máme x ⁰ = 0 bez omezení pro všechny čtveřice (nejen všechna reálná čísla, nejen všechna komplexní čísla), takže 0⁰ = 1.

Dalším klíčovým kritériem je užitečnost. Matematici definují věci, protože jsou užitečné pro jejich výzkum. Pokud definice není užitečná, nemá smysl ji dělat, takže je 0⁰ = 1 skutečně užitečné, kromě z hlediska pravidla prázdného produktu? Odpověď zní rozhodně Ano. Vezměte výkonovou řadu pro \ text {e} ^ x: \ text {e} ^ x = \ sum\_ {i = 0} ^ {\ infty} \ frac {x ^ i} {i!}. Matematici dokázali, že tato výkonová řada konverguje pro všechny komplexní čísla x a že výsledkem je skutečně \ text {e} ^ x. Protože 0 je komplexní číslo a tato výkonová řada funguje pro všechna komplexní čísla, musí fungovat pro x = 0. Pojďme nejprve rozšířit součet: \ text {e } ^ x = \ frac {x ^ 0} {0!} + \ frac {x ^ 1} {1!} + \ frac {x ^ 2} {2!} +…. Co se tedy stane s x = 0? Máme: \ text {e} ^ 0 = \ frac {0 ^ 0} {0!} + \ Frac {0 ^ 1} {1!} + \ Frac {0 ^ 2} {2!} +….

Víme, že 0 zvýšený na kladný exponent je 0, což platí pro všechny výrazy kromě prvního na pravé straně =; všechny tyto výrazy nedělají nic, aby mohly zmizet. Víme také, že jakékoli nenulové komplexní číslo zvednuté na exponent 0 se rovná 1 a e je nenulové komplexní číslo, takže \ text {e} ^ 0 = 1. Proto nyní máme: 1 = \ frac {0 ^ 0} {0!}. Matematici souhlasí s tím, že 0! = 1 (pravidlo prázdného produktu). Proto 1 = \ frac {0 ^ 0} {0!} = \ Frac {0 ^ 0} {1} = 0 ^ 0. Podívejte se, co jsme právě určili: 0⁰ = 1. Aby tato výkonová řada fungovala, musíme mít buď 0⁰ definovanou jako 1, nebo napsat speciální upozornění s výkonovou řadou, pro kterou platí, a pouze pro nenulový komplex x a výslovně samostatně uvádět, že e⁰ = 1. Proč tak zbytečná komplikace vyjadřování mocenské řady jen proto, aby se bez podstatných důvodů nedefinovalo 0⁰ = 1? Stejné věci platí pro mnoho dalších mocninných řad, pro polynomy, pro binomickou větu, pro různé kombinatorické problémy a pro další aplikace. Existuje mnoho případů významného zjednodušení a zevšeobecnění, které se vyskytnou, pak definujeme 0⁰ = 1.

Neexistují žádné případy, pro které je užitečné považovat 0⁰ za definovanou jinou hodnotu než 1, ani považovat 0⁰ za nedefinované. Nejbližší situace, která nastane, je v určitých situacích ve výzkumu v reálné analýze, kde je užitečné mít funkce nepřetržité v celé jejich doméně. Z důvodu problémů s omezeními pro x ^ y se blíží (0; 0), což dělá x ^ y diskontinuální v (0; 0), bez ohledu na to, zda je definována samotná 0⁰, a pokud ano, na jakou hodnotu. Vyjmutí bodu z domény ve skutečnosti znamená, že funkce bude v daném okamžiku nedefinovaná. Jen proto, že je pro váš výzkum užitečné vytáhnout (0; 0) z domény x ^ y, to ještě neznamená, že to musí být provedeno ve všech aspektech matematiky. Možná budu muset vypořádat s bijektivními funkcemi, abych podpořil invertibilitu. Pokud pracuji s x ² a potřebuji invertibilitu, musím omezit doménu na něco jako množinu nezáporných reálných čísel, což pro mé účely znamená, že (- 3) ² není definováno, což by pro vás bylo směšné omezení; podobně někteří matematici, kteří potřebují 0⁰ undefined, neznamená, že se jedná o omezení, které je uvaleno na všechny matematiky.Pravidlo prázdného produktu ve skutečnosti převažuje v kontextu celočíselných exponentů, zatímco problémy s kontinuitou se vyskytují pouze v kontextu skutečných exponentů. Jedním z možných řešení je považovat 0⁰ = 1, když je exponent celé číslo 0, ale nedefinovaný je exponent skutečná 0; pokud vám to zní divně, že odpověď závisí na tom, zda je hodnota považována za celé číslo oproti obecnějšímu reálnému číslu, není to pro funkci napájení jedinečné 0⁰, protože (-8) ^ {1/3} je považuje se za −2, pokud je −8 považováno za reálné číslo, ale za 1 + i√3, pokud je −8 považováno za komplexní číslo. Výkonová funkce x ^ y vypadá tak jednoduše, ale má opravdu ošklivé chování.