Nejlepší odpověď
Pravidelný pětiúhelník se neeselektuje.
Aby pravidelný polygon mohl mozaikovat vrchol od vrcholu, vnitřek úhel vašeho mnohoúhelníku musí být rovnoměrně rozdělen o 360 stupňů. Protože 108 nerozděluje 360 rovnoměrně, pravidelný pětiúhelník se tímto způsobem nehrozí.
Pokus o umístění jednoho z vrcholů někde na hranu namísto na vrchol z podobných důvodů nefunguje, úhly don Neshodují se.
Existuje však spousta pětiúhelníků, které skládají mozaiky, například příklad níže, který obkládá vrchol od vrcholu. Vidíte, že úhly všech polygonů kolem jednoho vrcholu vrcholů na 360 stupňů.
Kontrola úhlové podmínky je není jedinou požadovanou podmínkou pro zjištění, zda jsou polygony mozaikové, ale je velmi snadné to zkontrolovat.
Odpověď
Pouze tři pravidelné polygonové mozaiky: rovnostranné trojúhelníky, čtverce a pravidelné šestiúhelníky.
Žádný jiný pravidelný mnohoúhelník nemůže mozaikovat z důvodu úhlů rohů mnohoúhelníků. Aby bylo možné mozaikovat rovinu, musí být v bodě schopen setkat se celočíselný počet ploch. U běžných mnohoúhelníků to znamená, že úhel rohů mnohoúhelníku se musí dělit o 360 stupňů. Navíc pro všechny konvexní polygony musí být součet vnějších úhlů součet 360 stupňů a pro běžné polygony to znamená, že vnější úhly musí být stejné a součet 360 stupňů. To znamená, že vnitřní úhel běžného n-gonu je 180 ^ \ circ – \ frac {360 ^ \ circ} / n. Počet pravidelných n-gonů, které se vejdou za roh, je tedy \ frac {360 ^ \ circ} {180 ^ circ- \ frac {360 ^ circ} {n}} = \ frac {360 ^ \ circ n} { 180 ^ \ circ n – 360 ^ circ} = \ frac {n} {\ frac {1} {2} n-1} = \ frac {2n} {n-2}, a je možný pouze v případě, že se jedná o celé číslo .
Rovnostranné trojúhelníky mají 3 strany, takže kolem bodu můžete umístit \ frac {2 (3)} {3–2} = \ frac {6} {1} = 6 rovnostranných trojúhelníků. Teselace není vyloučena.
Čtverce mají 4 strany, takže kolem bodu můžete umístit \ frac {2 (4)} {4–2} = 8/2 = 4 čtverce. Teselace není vyloučena.
Pentagony mají 5 stran, takže kolem bodu můžete umístit \ frac {2 (5)} {5–2} = 10/3 pětiúhelníků. Nejedná se o celé číslo, proto teselace není možná.
Šestiúhelníky mají 6 stran, takže můžete umístit \ frac {2 (6)} {6–2} = 12/4 = 3 šestiúhelníky. Teselace není vyloučena.
Ale více stran? To není možné. Všimněte si, že \ frac {2 (n + 1)} {(n + 1) -2} = \ frac {2n + 2} {n-1} frac {2n} {n-2}, a že 2 < \ frac {2n} {n-2}, takže pro n> 6 máte 2 frac {2n} {n-2} frac {2 (6)} {6–2} = 3, takže pro běžné heptagony, osmiúhelníky, neagony atd., nemohli byste umístit celé číslo z nich kolem bodu.
To neznamená, že neexistují pětiúhelníky, heptagony, osmiúhelníky atd., které se skládají ne pravidelné pětiúhelníky, pravidelné sedmiúhelníky nebo pravidelné osmiúhelníky atd.