Nejlepší odpověď
Ano.
Leží mimo trojúhelník.
H je ortocentrum \ Delta ABC.
Pamatujte také, že \ bar {AH} \ bot \ bar {BC}; \ bar {BH} \ bot \ bar {CA}; \ bar {CH} \ bot \ bar {AB}
Odpověď
Jak zjistíte, že circumcenter a orthocenter tupoúhlého trojúhelníku leží mimo trojúhelník?
Jedním ze způsobů, jak určit circumcenter a orthocenter pro jakýkoli trojúhelník, tupý nebo ne, je pomocí vektorů a matic.
Úvod:
Je to trochu zapojeno, takže to nebude možné jakýkoli prostor pro zobrazení výpočtů.
Řekněme, že máme trojúhelník s vrcholy A, B a C a že délky jejich protilehlých stran jsou a, b a c.
Definujeme tři vektory: \ vec {u} = \ left (BA \ right), \ vec {v} = \ left (CA \ right) a \ vec {w} = \ vec {u } – \ vec {v} = \ left (BC \ right).
Nyní, hřích Ce vektory jsou matice, můžeme použít maticový formát, kde T za vektorem znamená, že je transponován. Takže \ vec {u} ^ {T} \ vec {u} = c ^ {2}, \ vec {v} ^ {T} \ vec {v} = b ^ {2} a \ vec {w} ^ {T} \ vec {w} = a ^ {2}. Ve skutečnosti jde o tečkované produkty.
Abychom se vyhnuli nejasnostem, použiji také označení \ vec {u} ^ {T} \ vec {u} = u ^ {2}, \ vec {v } ^ {T} \ vec {v} = v ^ {2} a \ vec {w} ^ {T} \ vec {w} = w ^ {2}. Takže, u \ equiv c, v \ equiv b a w \ equiv a. Já také použiji klobouk k vyjádření jednotkového vektoru, což je jen vektor, který byl rozdělen vlastní délkou a má tedy délku 1. Například \ frac {\ vec {u} ^ {T} \ vec {v}} {uv} \ equiv \ hat {u} ^ {T} \ hat {v}.
Transformační matice:
Nyní definujeme transformační matici. Pokud pracujete ve 2-dimenzích, bude to matice 2×2 a pokud pracujete ve 3-dimenzích, bude to matice 3×3. \ Theta\_ {A} je úhel mezi \ vec {u} a \ vec {v}, což je úhel na vrcholu A.
\ quad R = \ frac {v ^ {2} \ vec {u} \ vec {u} ^ {T} -u ^ {2} \ vec {v} \ vec {v} ^ {T}} {u ^ {2} v ^ {2} – \ vlevo ( \ vec {u} ^ {T} \ vec {v} \ doprava) ^ {2}} = \ frac {\ hat {u} \ hat {u} ^ {T} – \ vec {v} \ vec {v } ^ {T}} {1- \ left (\ hat {u} ^ {T} \ hat {v} \ right) ^ {2}} = \ frac {\ hat {u} \ hat {u} ^ { T} – \ hat {v} \ hat {v} ^ {T}} {\ sin ^ {2} \ theta\_ { A}}
Transformační matici používáme k definování dalšího vektoru.
\ quad \ vec {r} = \ frac {v ^ {2} \ left (\ vec {u } ^ {T} \ vec {w} \ doprava) \ vec {u} -u ^ {2} \ doleva (\ vec {v} ^ {T} \ vec {w} \ doprava) \ vec {v}} {u ^ {2} v ^ {2} – \ left (\ vec {u} ^ {T} \ vec {v} \ right) ^ {2}} = R \ vec {w}
Vzorce:
Nechť H je orthocenter, což je bod, kde se protínají všechny tři nadmořské výšky trojúhelníku. Nadmořská výška probíhá od každého vrcholu na přímce, která je kolmá na jeho opačnou nohu.
Nechť Q je circumcenter, což je bod, kde se protínají kolmé půlící čáry všech tří stran trojúhelníku. Jedná se o střed circumcircle, což je kruh, který zahrnuje všechny tři vrcholy trojúhelníku.
Nyní, s nějakou prací, lze nyní odvodit, že
\ quad \ začátek {pole} {l} H = \ vec {A} + \ doleva (\ vec {u} + \ vec {v} \ doprava) – \ vec {r} \\ Q = \ vec {A} + \ frac {1} {2} \ vec {r} \ end {array}.
Použitím vrcholů uvedeného trojúhelníku jako vektorů je můžeme převést na symetrické vzorce.
\ begin {array} {l} H = \ left (\ vec {A} + \ vec {B} + \ vec {C} \ right) – \ frac {a ^ {2} \ left (-a ^ {2 } + b ^ {2} + c ^ {2} \ right) \ vec {A} + b ^ {2} \ left (a ^ {2} -b ^ {2} + c ^ {2} \ right) \ vec {B} + c ^ {2} \ left (a ^ {2} + b ^ {2} -c ^ {2} \ right) \ vec {C}} {\ left (a ^ {2} b ^ {2} + a ^ {2} c ^ {2} + b ^ {2} c ^ {2} \ vpravo) – \ frac {1} {2} \ vlevo (a ^ {4} + b ^ { 4} + c ^ {4} \ right)} \\ Q = \ vec {A} + \ dfrac {1} {2} \ frac {a ^ {2} \ left (-a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2} \ right) \ vec {A} + b ^ {2} \ left (a ^ {2} -b ^ {2} + c ^ {2} \ right) \ vec {B } + c ^ {2} \ left (a ^ {2} + b ^ {2} -c ^ {2} \ right) \ vec {C}} {\ left (a ^ {2} b ^ {2} + a ^ {2} c ^ {2} + b ^ {2} c ^ {2} \ right) – \ frac {1} {2} \ left (a ^ {4} + b ^ {4} + c ^ {4} \ right)} \ end {array}
Všimněte si, že žádné odmocniny a trigonometrie ar Musíme najít dvě centra.