Nejlepší odpověď
1×1
Vysvětlení: Předpokládejme , 1. matice má velikost a * b a 2. matice má velikost c * d (a & c odpovídají řádku a b & d odpovídají sloupci).
Násobení matic mezi dvěma maticemi bude možné, pouze pokud b = ca výsledná matice bude mít velikost a * d.
Zde a = 1, b = 2, c = 2, d = 1. jako b = c, můžeme to tedy vynásobit a výsledná matice bude mít velikost a * d (1 * 1)
Odpověď
Matice libovolných dvou po dvou je
A = \ pmatrix {a & b \\ c & d}
Může mít multiplikativní inverzní A ^ {- 1} s vlastností AA ^ {- 1} = A ^ {- 1} A = I, matice identity, I = \ pmatrix {1 & 0 \\ 0 & 1}.
Najdeme inverzní, A ^ {- 1} = \ pmatrix {x & y \\ z & w}
AA ^ {- 1} = \ pmatrix {a & b \\ c & d} \ pmatrix {x & y \\ z & w} = \ pmatrix {ax + bz & ay + bw \\ cx + dz & cy + dw} = \ pmatrix {1 & 0 \\ 0 & 1}
Máme dva oddělitelné dva lineárními systémy,
ax + bz = 1, \ quad cx + dz = 0, \ qquad ay + bw = 0, \ quad cy + dw = 1
Pojďme udělat první, řešení pro x a z.
adx + bdz = d, \ quad bcx + bdz = 0
(ad-bc) x = d
x = \ dfrac {d} {ad-bc}
acx + bcz = c, \ quad acx + adz = 0
z = \ dfrac {-c} {ad-bc}
Z jiného systému dostaneme
ady + bdw = 0, bcy + bdw = b
y = \ dfrac {-b} {ad-bc}
a podobně
z = \ dfrac {a} {ad-bc}
Uvedení všeho dohromady vidíme
A ^ {- 1} = \ dfrac {1} {ad-bc} \ pmatrix {d & -b \\ -c & a}
Množství | A | = \ det (A) = ad-bc se nazývá determinant . Nenulová je přesně, když má matice inverzní funkci. Determinant je multiplikativní – determinant součinu dvou čtvercových matic je produktem jejich determinantů.
Matice \ pmatrix {d & -b \\ -c & a} se nazývá adjugát označil \ textrm {adj} (A).
Zkontrolujte, zda A \ textrm {adj} (A) = \ det (A) \; Já, matice, která je celá nula, kromě determinantu dolů po úhlopříčkách.
A \ textrm {adj} (A) = \ pmatrix {a & b \\ c & d} \ pmatrix {d & -b \ \ -c & a} = \ pmatrix {ad -bc & -ab + ba \\ cd -dc & -cb + da} \\ \ qquad = \ pmatrix {ad -bc & 0 \\ 0 & ad-bc} = \ det ( A) \; I \ quad \ checkmark
Odpověď na otázku zní, pokud jmenovatel není nulový,
A ^ {- 1} = \ dfrac {1} {ad-bc } \ pmatrix {d & -b \\ -c & a}
je matice, kterou vynásobíme
A = \ pmatrix {a & b \\ c & d}
získat identitu.