Pokud vynásobíte matici 1×2 maticí 2×1, jaké jsou rozměry výsledné matice?


Nejlepší odpověď

1×1

Vysvětlení: Předpokládejme , 1. matice má velikost a * b a 2. matice má velikost c * d (a & c odpovídají řádku a b & d odpovídají sloupci).

Násobení matic mezi dvěma maticemi bude možné, pouze pokud b = ca výsledná matice bude mít velikost a * d.

Zde a = 1, b = 2, c = 2, d = 1. jako b = c, můžeme to tedy vynásobit a výsledná matice bude mít velikost a * d (1 * 1)

Odpověď

Matice libovolných dvou po dvou je

A = \ pmatrix {a & b \\ c & d}

Může mít multiplikativní inverzní A ^ {- 1} s vlastností AA ^ {- 1} = A ^ {- 1} A = I, matice identity, I = \ pmatrix {1 & 0 \\ 0 & 1}.

Najdeme inverzní, A ^ {- 1} = \ pmatrix {x & y \\ z & w}

AA ^ {- 1} = \ pmatrix {a & b \\ c & d} \ pmatrix {x & y \\ z & w} = \ pmatrix {ax + bz & ay + bw \\ cx + dz & cy + dw} = \ pmatrix {1 & 0 \\ 0 & 1}

Máme dva oddělitelné dva lineárními systémy,

ax + bz = 1, \ quad cx + dz = 0, \ qquad ay + bw = 0, \ quad cy + dw = 1

Pojďme udělat první, řešení pro x a z.

adx + bdz = d, \ quad bcx + bdz = 0

(ad-bc) x = d

x = \ dfrac {d} {ad-bc}

acx + bcz = c, \ quad acx + adz = 0

z = \ dfrac {-c} {ad-bc}

Z jiného systému dostaneme

ady + bdw = 0, bcy + bdw = b

y = \ dfrac {-b} {ad-bc}

a podobně

z = \ dfrac {a} {ad-bc}

Uvedení všeho dohromady vidíme

A ^ {- 1} = \ dfrac {1} {ad-bc} \ pmatrix {d & -b \\ -c & a}

Množství | A | = \ det (A) = ad-bc se nazývá determinant . Nenulová je přesně, když má matice inverzní funkci. Determinant je multiplikativní – determinant součinu dvou čtvercových matic je produktem jejich determinantů.

Matice \ pmatrix {d & -b \\ -c & a} se nazývá adjugát označil \ textrm {adj} (A).

Zkontrolujte, zda A \ textrm {adj} (A) = \ det (A) \; Já, matice, která je celá nula, kromě determinantu dolů po úhlopříčkách.

A \ textrm {adj} (A) = \ pmatrix {a & b \\ c & d} \ pmatrix {d & -b \ \ -c & a} = \ pmatrix {ad -bc & -ab + ba \\ cd -dc & -cb + da} \\ \ qquad = \ pmatrix {ad -bc & 0 \\ 0 & ad-bc} = \ det ( A) \; I \ quad \ checkmark

Odpověď na otázku zní, pokud jmenovatel není nulový,

A ^ {- 1} = \ dfrac {1} {ad-bc } \ pmatrix {d & -b \\ -c & a}

je matice, kterou vynásobíme

A = \ pmatrix {a & b \\ c & d}

získat identitu.

Napsat komentář

Vaše e-mailová adresa nebude zveřejněna. Vyžadované informace jsou označeny *