Nejlepší odpověď
Proč se k používá jako konstanta proporcionality?
Nejen k . a, b, c, d, m, n, p, q jsou některá písmena latinky, která se často používají jako konstanty.
\ alpha, \ beta, \ gamma, \ eta, \ kappa, \ lambda, \ mu, \ pi, \ rho, \ tau a \ omega jsou některá často používaná písmena v řecké abecedě jako konstanty.
Zpět k vaší otázce – nikdo neví jistě proč. Ale pevně věřím, že k se téměř jako všude používá jako konstanta, protože je německé slovo pro „konstantu“ konstante https://translate.google.com/#en/de/constant . A hádejte co? první písmeno tohoto slova je k . A Němci od počátků matematiky významně přispěli do matematiky.
Jsem veden k tomu, abych tomuto způsobu věřil, protože nejen konstanta proporcionality, k také označuje některé zadané konstanty https://en.wikipedia.org/wiki/Mathematical\_constant. Například – Boltzmannova konstanta , Sierpińského „konstanta , Khinchinova konstanta , Landau – Ramanujanova konstanta – abychom jmenovali alespoň některé. Mohu jen hádat, že oni (dotyční matematici nebo ti, kteří je pojmenovali) byli vědomi a ovlivňováni německým slovem konstante.
To je vše. Děkujeme za přečtení.
Odpověď
Tato otázka pěkně zdůrazňuje, v čem se fyzika liší od matematiky.
Nezapomeňte, že účelem jakékoli fyzikální rovnice, včetně druhého Newtonova zákona, je jednoduše modelovat vztah „v reálném světě“. To znamená které veličiny zvolíme jako konstantní a které proměnné, závisí zcela na fyzické situaci, kterou má rovnice modelovat.
S ohledem na to se pojďme podívat na druhý Newtonův zákon. Sám Newton tak svůj zákon původně nevyjádřil. Spíše to vyjádřil (slovy) jako
\ mathbf {F} = \ frac {d \ mathbf {p}} {dt}
Kde \ mathbf {F} je síla (upozornění, síla je vektor), \ frac {d \ mathbf {p}} {dt} je rychlost změny hybnosti \ mathbf {p} (také vektor).
It je možné to interpretovat jako definici pro sílu a podle tohoto výkladu nemá smysl vkládat konstantu proporcionality, protože definice veličiny obvykle říká nám v nejpřímějších pojmech, co je to veličina z hlediska jiné veličiny.
Jak již bylo napsáno, jedná se samozřejmě o soubor tří rovnic, které určují směr síly v prostoru. V mnoha situacích je ale fyzika situace taková, že nás může zajímat pouze velikost síly, a to se zjednoduší na
F = \ frac {dp} {dt}
Nyní je velikost hybnosti dána vztahem p = mv. Nejobecnějším výrazem pro časovou derivaci této veličiny je
\ frac {dp} {dt} = v \ frac {dm} {dt} + m \ frac {dv} {dt}
První člen vpravo představuje objekt pohybující se konstantní rychlostí, zatímco jeho hmotnost se mění, zatímco druhý představuje objekt s konstantní hmotou pohybující se měnící se rychlostí. Situace, které nás obvykle nejvíce zajímají při modelování, nyní vezmou hmotu objektu jako konstantu. To znamená
\ frac {dm} {dt} = 0
Proto první výraz zmizí. Zůstane nám
F = m \ frac {dv} {dt} = ma
A teď by to mělo být zřejmé: V této rovnici je konstanta proporcionality m .
Pokud bychom místo toho chtěli namodelovat například raketu pohybující se konstantní rychlostí, ale která ztrácí hmotu (tj. jeho hmotnost se v průběhu času mění), protože vypouští palivo jako výfuk, který ho hýbe dopředu, místo toho bychom napsali
F = v \ frac {dm} {dt}
Protože konstantní rychlost znamená
\ frac {dv} {dt} = 0
A proto druhý člen v obecném výrazu výše zmizí. Takže v této rovnici je konstanta proporcionality v.
Doufám, že to ukazuje, že cokoli považujeme za konstanta proporcionality zcela závisí na událostech v reálném světě a vztazích mezi nimi. Například m se stalo konstantou proporcionality mezi velikostmi síly a zrychlení právě proto, že jsme chtěli modelovat situaci, ve které byla hmota objektu konstantní.Podobně se v stalo konstantou proporcionality mezi velikostí síly a časovou rychlostí změny hmoty právě proto, že jsme chtěli modelovat tento druh situace.
Dovolte mi, abych to porovnal s čistě matematickým přístupem může vypadat. Pamatujte, že nyní se rozlišuje, že nám opravdu nezáleží na tom, aby rovnice modelovaly realitu, pouze nám záleží na tom, aby byly konzistentní (a aby samozřejmě vedly k nové zajímavé matematice). Takže, když dělám jen matematiku, mohu zcela svobodně uvažovat o hromadě v jakýchkoli jednotkách, které chci. Abychom přinesli bod domů, zvolme něco směšného, jako jsou „bloby“ jako jednotky hmotnosti. Aby byla zachována konzistence (a pouze z tohoto důvodu), musím definovat vztah mezi objekty BLOB a standardními jednotkami, jako jsou kilogramy. Řekněme, že definuji
1 kilogram = 3 objekty Blob
No, se svými novými jednotkami nyní musím do rovnice vložit konstantu proporcionality, protože jednotky síly, Newtony , nemají v sobě kuličky. Takže vzhledem k hmotnosti v jednotkách blobů, zkráceně bb, se F = ma stane
F = \ frac {1} {3} kma
Kde
k = \ frac {1kg} {1bb} je moje konstanta proporcionality. Nebo pokud jsem matematicky trochu efektivnější, píšu
F = k „ma
Kde
k“ = \ frac {1kg} {3bb } je moje nová konstanta proporcionality, která právě absorbovala konstantu \ frac {1} {3}.
Jde o to, že tyto manipulace jsou čistě matematické. Dotyčné rozdíly nemají nic společného se vztahy ve skutečném světě, které má rovnice modelovat. Nemají žádný fyzikální obsah, a proto v podstatě nikdy nic takového nevidíte *.
Ve většině situací jsou ve fyzice jediné konstanty proporcionality, které na vás vynucuje fyzika situace.
(* Říkám „v zásadě“, protože existují situace, zejména v elektromagnetismu, kde takové problémy vznikají kvůli rozdílným tradicím reprezentace veličin, ale většina fyziků je nepovažuje za „fyzikální problémy“ )