Bedste svar
Sig, 2 ^ 32 + 1 kan deles med m.
Så, 2 ^ 32 = -1 (mod m)
(2 ^ 32) ^ 3 = (- 1) ^ 3 ( mod m)
2 ^ 96 = -1 (mod m)
2 ^ 96 + 1 = 0 (mod m)
Så det rigtige svar er 2 ^ 96 + 1
Svar
Det gør du ikke. Se for eksempel hvad der sker, når x = 12. Du får x ^ 2 = 144 = 24 \ cdot 6, men x kan ikke deles med 24.
Jeg kunne stoppe her, men det ville ikke være lærerigt bortset fra at sige, at du tager fejl. Det er ikke særlig nyttigt.
Når alt kommer til alt, kan jeg bevise, at hvis k | x ^ 2 (læs det som “k deler x ^ 2), så k | x for mange k, inklusive 21, 22, 23, 26, 29 og 30, men ikke for 20, 24, 25, 27 eller 28. Hvad er forskellen? Det er her tingene bliver interessante og lærerige.
Hvad ved vi om x? Vi ved, ved den grundlæggende teorem for aritmetik, at x kan repræsenteres entydigt som et produkt af primtal, x = 2 ^ {a\_2} 3 ^ {a\_3} 5 ^ {a\_5} \ cdots. Enhver (eller alle, for x = 1) af disse a\_p-værdier kan være 0, og faktisk er kun et endeligt antal af dem ikke-nul.
Det betyder, at x ^ 2 = 2 ^ { 2a\_2} 3 ^ {2a\_3} 5 ^ {2a\_5} \ cdots. Alle eksponenter er nu lige.
Hvad ved vi om k? Ved den samme sætning ved vi, at k = 2 ^ {k\_2} 3 ^ {k\_3} 5 ^ {k\_5} \ cdots.
Hvordan hænger dette sammen med delelighed? Hvis k | x ^ 2, det betyder, at k\_2 \ leq 2a\_2, k\_3 \ leq 2a\_3, \ prikker, k\_p \ leq 2a\_p, \ prikker. Hvis k | x, det betyder, at k\_2 \ leq a\_2, k\_3 \ leq a\_3, \ prikker, k\_p \ leq a\_p.
Så alt hvad vi virkelig skal gøre for at bevise, om x ^ 2 er delelig med k, så x kan deles med k viser, at hvis k\_p \ leq 2a\_p, så k\_p \ leq a\_p. Da k\_p, a\_p kan være et hvilket som helst ikke-negativt heltal, så kan vi se på det enklere problem: under hvilke betingelser har vi b \ leq 2c, der antyder b \ leq c?
Grundlæggende forsøger vi at finde værdier af b hvor udtrykket c \ leq 2c ikke holder for nogen c. Da der ikke er nogen c , fungerer b = 0. For b = 1 tvinges vi til at have c = 0 , og så 1 \ ikke \ leq 2c = 0, så b = 1 fungerer.
Men for b> 1 fungerer det ikke arbejde. Du kan altid vælge c = b-1
At bringe dette tilbage til vores problem betyder det, at vi kan sige k | x ^ 2 \ indebærer k | x kun når eksponenterne for primtal i k enten er 0 eller 1. Disse værdier for k kaldes “kvadratfrie”, fordi du ikke kan dele dem med et kvadrattal.
Så du kan vise k | x ^ 2 \ indebærer k | x hvis k er kvadratfrit.
For de tal, jeg kiggede på ovenfor, er 20 deleligt med kvadratet 4, 24 er deleligt med kvadratet 4, 25 er kvadratisk, 27 er delbart med kvadratet 9 , 28 kan deles med firkanten 4. De andre tal, 21, 22, 23, 26, 29, 30, er alle firkantfrie, som du kan kontrollere, om du vil.