Bedste svar
Jeg underviste engang nogle mellemskoleelever i matematik på en eksklusiv privatskole. Jeg havde en studerende, der var arrogant og konstant irriterede mig og de andre studerende. Administrationen støttede ikke mine forsøg på at disciplinere ham. Jeg kom på denne løsning:
Jeg fortalte ham, at hvis han kunne finde et mønster til primtal, så han kunne forudsige det næste, kunne han tjene mange penge og være berømt. Han kunne lide denne udfordring og begyndte at afsætte sig til den. Han havde sider og sider med beregninger og generede mig aldrig igen. Hver gang et stykke tid viste jeg interesse for hans arbejde, og han sagde noget som: “Jeg tror, jeg er ved noget …”
Jeg vidste, at han ikke ville finde noget, fordi jeg vidste at der ikke er noget mønster for primtal. Der kan være nogle lokale områder, hvor det ser ud til, at der er et mønster, men der er intet overordnet mønster og ingen formel til at forudsige det NÆSTE primtal uden TESTING.
Tænk på det på denne måde. Du er en paleolitisk mand, der finder ud af, at 2, 3, 5, 7, 11 og 13 er førende. Du spekulerer på, hvad den næste prime bliver. Der er ingen måde at finde det uden nogen test. Du kan teste 14. Nej. 15, nej. 16, nej. 17, Bingo.
Du behøver kun at teste faktorerne op til og med kvadratroden af nummeret (i tilfælde af 17: 2, 3 og 4), fordi det næste tal bliver for stort, men du har brug for at TESTE. Denne test tager LONG TIME beregningsmæssigt. Dette er det nuværende grundlag for kryptografi. Hvis vi kunne forudsige den næste prime, ville alle vores adgangskoder være nøgne.
Matematikere synes at hader at indrømme, at der er dette CHAOS midt i tal, men der er, og jeg finder det dejligt.
Hvordan ved jeg, at der ikke er noget mønster?
Mønster: (ordboksdefinition) • et arrangement eller en rækkefølge, der regelmæssigt findes i sammenlignelige objekter eller begivenheder. • en REGULÆR og forståelig form eller sekvens, der kan ses i visse handlinger eller situationer.
Så et MØNSTER indebærer REGULARITET eller GENTAGELSE. GENTAGNING indebærer MULTIPLIKATION, da MULTIPLICATION er GENTAGENDE TILSÆTNING. Multiplikation indebærer FAKTORER, og vi kan ikke have faktorer, hvis det er primært.
Beregn: (definition) bestem matematisk (mængden eller antallet af noget). Vi bestemmer ikke, om et tal er matematisk primært. Vi gør det EKSPERIMENTT.
Jeg tror, at primtal ikke har et MØNSTER, men ser ud til at have visse TENDENSER. De har en tendens til at blive mere SPARSE, når mængderne stiger, men så pludselig… ser du to sammen. Disse kaldes tvillinger. Eksempler: (41, 43), (137, 139). Ingen ved, om tvillingestart, som primtal, er uendeligt. Det er ikke blevet bevist.
Wikipedia: “Det nuværende største kendte to primære par er 2996863034895 · 2 ^ 1290000 ± 1 med 388.342 decimalcifre. Det blev opdaget i september 2016. ” Twin prime – Wikipedia
Som med selve primtalerne er der ingen f *** ing måde at forudsige, hvornår disse tvillingeprimes vil komme hen ad. (Det MÅL være mulig at bevise, om de nogensinde ender. Prøv det.)
Nogle mennesker tror, at der er “mønstre” i Ulam Spiral. Ulam spiral – Wikipedia
Hvis du downloader figuren og sprænger den op, vil du dog se nogle lige linjer komme frem og derefter forsvinde. Primtal er uendelige. Så selvfølgelig statistisk (i vores ARBITRARY Base 10-system) vises nogle lige linjer til tider, som når du vender mønter, får du nogle gange et stort antal hoveder.
(Ulam Spiral bruger også firkanter. Jeg tror, en anden spiral vises, hvis du bruger andre arealfyldningsformer: trekanter eller sekskanter.)
Videnskab handler om at finde mønstre for at forudsige. Vi kan forudsige, hvornår den næste måneformørkelse vil være, vi kan forudsige, hvornår solen vil stige i morgen, vi kan forudsige, hvornår vandet fryser og koger, men vi kan IKKE forudsige det næste primtal.
Resumé: Du kan muligvis hente slangen, men du ved ikke, hvilken vej den vil vride.
Bemærk: Dette svar er for det meste baseret på mit tidligere svar her:
Bill Lauritzens svar på Er der en præmie til den, der opdager mønsteret i primtal?
Svar
Det er sandt, at fordelingen af primtal kan virke tilfældig (og det er i et omfang). Værktøjerne i den analytiske talteori giver os imidlertid afgørende indsigt i fordelingen af primtalene og afslører mange interessante mønstre
Lad \ pi (x) repræsentere antallet af primtal \ leq x hvor x er en positiv reel variabel.
Ifølge teorem for primtal , hvoraf jeg ikke kender et godt elementært bevis (det enkleste jeg kender bruger kompleks analyse), det følgende gælder for \ pi (x) når x nærmer sig uendeligt:
\ pi (x) \ sim \ frac {x} {\ log x}
~ repræsenterer asymptotisk ækvivalens, hvis hovedidee er, at funktionen \ pi (x) kommer meget tæt på funktionen \ frac {x} {\ log x}, hvor tilnærmelsen bliver bedre og bedre, når x bliver større og større.
For dem der er fortrolige med elementær beregning, er f (x) \ sim g (x), hvis grænsen som x nærmer sig uendelig med \ frac {f (x)} {g (x)} er 1.
Som normalt i højere matematik repræsenterer log den naturlige logaritme. Dette indebærer også, at hvis p (n) repræsenterer den niende prime, så:
p (n) \ sim n \ log (n)
En anden let collarer er, at hvis du vælger et tilfældigt heltal fra de første n positive heltal, sandsynligheden for, at det er prim er omkring \ frac {1} {\ log n}
En anden form for primtaltalteorem, der er lidt mindre intuitiv men empirisk mere præcist er følgende:
\ pi (x) \ sim \ int\_2 ^ x \ frac {1} {\ log t} dt
I begge tilfælde er venstre side er et heltal, mens højre side er en eller anden forfærdelig transcendental funktion (som vi kan vurdere lidt lettere end venstre underligt nok). Under alle omstændigheder skal der være en fejl, hvis vi tilnærmer \ pi (x) som \ int\_2 ^ x \ frac {1} {\ log t} dt
Jeg ved ikke helt den bedste fejl bundet bevist indtil videre, men hvis Riemann-hypotesen viser sig at være sand, kan vi forbedre fejl bundet til:
\ pi (x) = \ int\_2 ^ x \ frac {1} {\ log t} dt + O (\ sqrt {x} \ log (x))
Tilsvarende, hvis den bundne fejl er sand, kan vi også bevise Riemann hypotese. Sagen ved denne fejlbundne er, at den er tæt: vi ved, at vi ikke kan gøre det bedre.
Jeg vil sige, at primtaltalssætningen sandsynligvis er det vigtigste og mest interessante resultat i analytisk talteori
tl; dr, primtalene følger asymptotisk en fordeling, der er som en relativt let analytisk funktion, så ja der er et mønster.