Bedste svar
Jeg præsenterer dette som om alle er enige, hvilket ikke rigtig er sandt.
Hvert tal, rigtigt eller komplekst, har to kvadratrødder, der er negationer af hinanden. Undtagelsen er nul, hvilket er dets egen negation.
Domænet for kvadratroden kan være de reelle tal eller de komplekse tal, og konventionerne er lidt forskellige. Lad os først fokusere på kvadratroden af reelle tal.
Det radikale tegn \ sqrt {x}, når det anvendes på et reelt tal, betegner princip eller positiv kvadratrod. Hvis x \ ge 0 så \ sqrt {x} \ ge 0. Så for at besvare spørgsmålet med kvalifikationer er den primære kvadratrod af et positivt tal altid positiv, pr. Definition.
Den primære kvadratrode af en negativ reel er en positiv reel gange i. Selvom de komplekse tal ikke er ordnet, er der en vigtig rækkefølge på den imaginære akse analog med den på den virkelige akse.
Når vi taler om “kvadratroden” henviser vi normalt til hoved kvadratrod. Når vi taler om ”en kvadratrod”, mener vi enten. I dette spørgsmål leverer OP ikke en artikel, så ingen hjælp her.
Når vi har at gøre med kvadratrødder af reelle tal, er det meget vigtigt, at vi forstår
\ sqrt {x} \ ne \ pm \ sqrt {x}
Når domænet er reelt, er \ sqrt {x} en funktion fra reelle tal til komplekse. Det får en enkelt unik værdi for hver rigtige x. Det er altid enten 0, et positivt reelt tal eller et positivt reelt antal gange i. Det er den ene af de to kvadratrødder, der er defineret til at være den primære kvadratrod.
Medmindre der udtrykkeligt anmodes om hovedværdier, skal kvadratroden af et komplekst tal \ sqrt {z} behandles som en flerværdigt udtryk. Så her vil jeg sige \ sqrt {z} = \ pm \ sqrt {z}.
Når vi udtrykkeligt vil have det multivalente udtryk, refererer udtrykket a til begge kvadratrødder, enten w sådan at w ^ 2 = z. Jeg foretrækker \ pm \ sqrt {z}. Men \ pm kan blive forvirrende og tvetydig, så det kan gå begge veje.
Mere kontroversielt behandler jeg det gensidige naturlige tal som en eksponent, z ^ {\ frac 1 2}, som det multivalente udtryk, der henviser til til alle rødder, ikke en funktion.
Præcis hvad ligestilling af flerværdige udtryk betyder, glides normalt over, især det irriterende problem, som 1 ^ {\ frac 1 2} \ ne 1 ^ {\ frac 2 4} . Måske.
Svar
Hmm, denne er vanskelig … Så her går:
Kvadratroden er en matematisk funktion, og dens faktisk navn er positiv kvadratrodfunktion, som åbenbart giver alle + ve-værdier. Årsagen til denne sondring er, at der i en matematisk funktion f (x, y) for hver værdi af x skal være en unik værdi af y. Kvadratroden på 4 kan således ikke være +2, -2 pr. definition! Således tager vi som regel kun kvadratrodfunktionen for at være positiv.
Dette skaber en masse forvirring, fordi firkanten af både +2 og -2 er 4, men kvadratroden af 4 kan kun tage værdien +2, men jeg antager, det er sættet med regler, som vi overholder. Du er velkommen til at tænke på et andet system, hvor kvadratrodfunktionen giver både + ve- og -ve-værdierne, selvom jeg forestiller mig, at det ville føre til massiv forstyrrelse et eller andet sted nede ad vejen. matematik er i eksperimentering!