Bedste svar
Det korte svar er, ja, rækkevidde for en matrix er den samme som dens kolonneområde, men der er en subtilitet.
Givet et antal m, kan vi se dette tal enten som en konstant, eller som et middel til at definere en lineær funktion, f (x) = mx. På samme måde kan vi se en matrix \ mathbf {M} enten som en række tal (kedeligt) eller som et middel til at definere en lineær funktion f (\ mathbf {x}) = \ mathbf {M} \ mathbf {x}.
Udtrykket rækkevidde refererer til det sæt output, som f () kan returnere, og er typisk defineret som en egenskab af funktioner, ikke tal.
kolonneområdet er på den anden side typisk defineret som en egenskab for selve matrixen. Og da kolonneområdet er sættet med alle mulige lineære kombinationer (aka span ) af kolonnerne i \ mathbf {M}, dette kan skrives som \ {\ mathbf {M} \ mathbf {x} | \ mathbf {x} \ in \ mathbb {R} \}, hvilket er selve -området af f ovenfor.
Svar
Området for en matrix er området for matrixen set som en lineær transformation. En n-by-p (reel) matrix A er også en lineær transformation fra R ^ p til R ^ n (det p- dimensionelle euklidiske rum til det n-dimensionelle euklidiske rum.) Domænet er R ^ p og området består af alle lineære kombinationer af A-søjlerne, dvs. sættet \ {Ax: x \ i R ^ p \} (xa søjlevektor.)
Hvis A har rang p, så har området rang p, og dette er muligt, hvis n> = p.
Det samme gælder for en kompleks matrix A som en lineær transformation fra C ^ p til C ^ n, hvor C er feltet for komplekse tal. p>