Bedste svar
Ja.
Den ligger uden for trekanten.
H er ortocentret af \ Delta ABC.
Bemærk også, at \ bar {AH} \ bot \ bar {BC}; \ bar {BH} \ bot \ bar {CA}; \ bar {CH} \ bot \ bar {AB}
Svar
Hvordan finder du omkredsen og orthocentret af en stumpvinklet trekant, der ligger uden for trekanten?
En måde at bestemme cirkecentret og ortocentret for enhver trekant, stump eller ej, er ved hjælp af vektorer og matricer.
Intro:
Det er lidt involveret, så der vil ikke være ethvert rum til at vise beregningerne.
Lad os sige, at vi har en trekant med hjørnerne A, B og C, og at længderne på deres modsatte sider er henholdsvis a, b og c.
Vi definerer tre vektorer: \ vec {u} = \ left (BA \ right), \ vec {v} = \ left (CA \ right) og \ vec {w} = \ vec {u } – \ vec {v} = \ left (BC \ right).
Nu, synd ce-vektorer er matricer, kan vi bruge matrixformat, hvor en T efter en vektor betyder, at den transponeres. Så \ vec {u} ^ {T} \ vec {u} = c ^ {2}, \ vec {v} ^ {T} \ vec {v} = b ^ {2} og \ vec {w} ^ {T} \ vec {w} = a ^ {2}. Disse er faktisk prikprodukter.
For at hjælpe med at undgå forvirring bruger jeg også betegnelsen \ vec {u} ^ {T} \ vec {u} = u ^ {2}, \ vec {v } ^ {T} \ vec {v} = v ^ {2} og \ vec {w} ^ {T} \ vec {w} = w ^ {2}. Så u \ equiv c, v \ equiv b , og w \ equiv a. Jeg vil også bruge en hat til at repræsentere en enhedsvektor, som bare er en vektor, der er divideret med sin egen længde og således har en længde på 1. For eksempel \ frac {\ vec {u} ^ {T} \ vec {v}} {uv} \ equiv \ hat {u} ^ {T} \ hat {v}.
Transformationsmatrix:
Vi definerer nu en transformationsmatrix. Hvis der arbejdes i 2-dimensioner, vil det være en 2×2 matrix, og hvis man arbejder i 3-dimensioner, vil det være en 3×3 matrix. Bemærk, at \ theta\_ {A} er vinklen mellem \ vec {u} og \ vec {v}, som er vinklen ved toppunkt A.
\ quad R = \ frac {v ^ {2} \ vec {u} \ vec {u} ^ {T} -u ^ {2} \ vec {v} \ vec {v} ^ {T}} {u ^ {2} v ^ {2} – \ left ( \ vec {u} ^ {T} \ vec {v} \ right) ^ {2}} = \ frac {\ hat {u} \ hat {u} ^ {T} – \ vec {v} \ vec {v } ^ {T}} {1- \ left (\ hat {u} ^ {T} \ hat {v} \ right) ^ {2}} = \ frac {\ hat {u} \ hat {u} ^ { T} – \ hat {v} \ hat {v} ^ {T}} {\ sin ^ {2} \ theta\_ { A}}
Vi bruger transformationsmatrixen til at definere en anden vektor.
\ quad \ vec {r} = \ frac {v ^ {2} \ left (\ vec {u } ^ {T} \ vec {w} \ right) \ vec {u} -u ^ {2} \ left (\ vec {v} ^ {T} \ vec {w} \ right) \ vec {v}} {u ^ {2} v ^ {2} – \ left (\ vec {u} ^ {T} \ vec {v} \ right) ^ {2}} = R \ vec {w}
Formler:
Lad H være ortocentret, hvilket er det punkt, hvor alle tre højder i en trekant krydser hinanden. En højde løber fra hvert toppunkt på en linje, der er vinkelret på det modsatte ben.
Lad Q være omløbscentret, hvilket er det punkt, hvor de lodrette halveringer på alle tre af en trekants sider krydser hinanden. Det er midten af omskæringen, som er en cirkel, der inkluderer alle tre hjørner i en trekant.
Nu med noget arbejde kan det nu udledes, at
\ quad \ begynde {array} {l} H = \ vec {A} + \ left (\ vec {u} + \ vec {v} \ right) – \ vec {r} \\ Q = \ vec {A} + \ frac {1} {2} \ vec {r} \ end {array}.
Ved at bruge hjørnerne i den nævnte trekant som vektorer kan vi konvertere disse til symmetriske formler.
\ begin {array} {l} H = \ left (\ vec {A} + \ vec {B} + \ vec {C} \ right) – \ frac {a ^ {2} \ left (-a ^ {2 } + b ^ {2} + c ^ {2} \ højre) \ vec {A} + b ^ {2} \ venstre (a ^ {2} -b ^ {2} + c ^ {2} \ højre) \ vec {B} + c ^ {2} \ left (a ^ {2} + b ^ {2} -c ^ {2} \ right) \ vec {C}} {\ left (a ^ {2} b ^ {2} + a ^ {2} c ^ {2} + b ^ {2} c ^ {2} \ right) – \ frac {1} {2} \ left (a ^ {4} + b ^ { 4} + c ^ {4} \ right)} \\ Q = \ vec {A} + \ dfrac {1} {2} \ frac {a ^ {2} \ left (-a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2} \ right) \ vec {A} + b ^ {2} \ left (a ^ {2} -b ^ {2} + c ^ {2} \ right) \ vec {B } + c ^ {2} \ left (a ^ {2} + b ^ {2} -c ^ {2} \ right) \ vec {C}} {\ left (a ^ {2} b ^ {2} + a ^ {2} c ^ {2} + b ^ {2} c ^ {2} \ right) – \ frac {1} {2} \ left (a ^ {4} + b ^ {4} + c ^ {4} \ right)} \ end {array}
Bemærk, at der ikke er kvadratrødder og ingen trigonometri ar det er nødvendigt at finde de to centre.