Bedste svar
Bemærk de lukkede og åbne cirkler. Den åbne cirkel ved en y-værdi betyder, at det ikke er en værdi for funktionen, når du tilslutter x. For eksempel er f (−1) = – 4, da det er her den faste cirkel er. Derudover er f (3) udefineret, da der ikke er nogen solid cirkel ved x = 3. Men hvad med grænserne?
Fra billedet ovenfor ser vi, at limx → 3 − f (x) = 2 og limx → 3 + f (x) = 2 derfor limx → 3f (x) = 2, selvom f (3) er udefineret! Igen betyder det ikke noget, hvad der sker, når kun x = 3 hvad der sker nær den værdi!
Imidlertid er limx → −1 − f (x) = – 4 og limx → −1 + f (x) = 2. Derfor eksisterer limx → −1f (x) ikke, selvom f (−1) = – 4.
Svar
Åbne prikker (hule) er udefinerede på det givne punkt , hvorimod lukkede prikker (udfyldte) er defineret på det givne punkt. Dette betyder, at der ved den tilsvarende x-værdi findes en y-værdi for funktionen ved prikken, hvis prikken er lukket.
x = 5 er et punkt for diskontinuitet i denne funktion, fordi både åbne og lukkede prikker findes ved x = 5 ved forskellige y-værdier. Ofte er dette et tegn på en stykkevis funktion. Ved den lukkede prik eksisterer x = 5 og y. Ved den åbne prik er x = 5 og y dog defineret på et andet punkt end grænsen omkring x = 5 antyder.
En dobbeltsidet grænse ved x = 5 kan stadig tages på trods af dette diskontinuitet. Ensidige grænser fra venstre og højre kan tages. De vil give de samme resultater som hinanden, hvilket er grunden til, at der kan tages en dobbeltsidet grænse.
Dette er et eksempel på en aftagelig diskontinuitet, fordi grænsen findes, men funktionen er ikke kontinuerlig, fordi grænsen ikke er lig med den faktiske værdi af funktionen. Disse diskontinuiteter kan ofte stamme fra rationelle funktioner, der ellers ligner polynomer.