Bedste svar
#python
print(2**10000)
2844061536738951487114256315111089745514203313820202931640957596464756010405845841566072044962867016515061920631004186422275908670900574606417856951911456055068251250406007519842261898059237118054444788072906395242548339221982707404473162376760846613033778706039803413197133493654622700563169937455508241780972810983291314403571877524768509857276937926433221599399876886660808368837838027643282775172273657572744784112294389733810861607423253291974813120197604178281965697475898164531258434135959862784130128185406283476649088690521047580882615823961985770122407044330583075869039319604603404973156583208672105913300903752823415539745394397715257455290510212310947321610753474825740775273986348298498340756937955646638621874569499279016572103701364433135817214311791398222983845847334440270964182851005072927748364550578634501100852987812389473928699540834346158807043959118985815145779177143619698728131459483783202081474982171858011389071228250905826817436220577475921417653715687725614904582904992 4610286300815355833081301019876758562343435389554091756234008448875261626435686488335194637203772932400944562469232543504006780272738377553764067268986362410374914109667185570507590981002467898801782719259533812824219540283027594084489550146766683896979968862416363133763939033734558014076367418777110553842257394991101864682196965816514851304942223699477147630691554682176828762003627772577237813653316111968112807926694818872012986436607685516398605346022978715575179473852463694469230878942659482170080511203223654962881690357391213683383935917564187338505109702716139154395909915981546544173363116569360311222499379699992267817323580231118626445752991357581750081998392362846152498810889602322443621737716180863570154684840586223297928538756234865564405369626220189635710288123615675125433383032700290976686505685571575055167275188991941297113376901499161813151715440077286505731895574509203301853048471138183154073240533190384620840364217637039115506397890007428536721962809034779745333204683687 95868580237952218629120080742819551317948157624448298518461509704888027274721574688131594750409732115080498190455803416826949787141316063210686391511681774304792596709376
Svar
Den grundlæggende ting om decimal er, at det er blot en af mange formularer, der bruges til at repræsentere tal. Det er dog en så almindelig form, at mange (uden egen skyld) kommer til at forbinde nummeret med selve formularen. Og hvis to tal har to forskellige former, skal de være forskellige tal, ikke?
Men hvad med følgende to tal:
\ displaystyle {\ qquad \ frac {41217896017} {82435792034} \ quad \ text {og} \ quad \ frac {1} {2}?}
Helt forskellige -repræsentationer , men ved at gå igennem og udføre de nødvendige beregninger / aflysninger, vil du næsten helt sikkert tro mig, at disse to former repræsenterer samme nummer .
Hvorfor?
Fordi når vi lærer brøker, læres vi fra et meget tidligt stadium, at to brøker kan være ens, og at de er i reduceret form hvis tælleren og nævneren ikke har nogen fælles faktorer, der overstiger 1.
Og det holder vi fast ved.
Vi er overbeviste om det gennem erfaring og gentagelse af denne oplevelse, og vi kan bruge forskellige former til at verificere den oplevelse.
Ikke så meget med “decimaler”, endsige andre positionelle former.
Det pæne ved decimaltalene for tal er, at for mest tal (i en bestemt teknisk forstand) er decimalformen faktisk unik (men i de fleste af disse tilfælde – i samme forstand – er det upraktisk at skrive ned i detaljer, lad os sige det sådan).
Der er dog et par undtagelser. Med “få” mener jeg, at i sammenligning med hele “partiet” af tal, der i princippet (hvis ikke i praksis) kan skrives i decimal.Undtagelserne er de tal, der er rationelle, og deres nævnere (i reduceret form) har kun beføjelser på 2 og / eller beføjelser på 5.
Det værktøj, du har brug for for at forstå det, er essensen af en konvergerende geometrisk serie.
En konvergent (uendelig) geometrisk serie er en serie af formen
\ displaystyle {\ qquad a + a \ gange r + a \ gange r ^ 2 + \ ldots + a \ gange r ^ n + \ ldots.}
Når serien slutter efter et endeligt antal udtryk med den højeste effekt N er det ret let at bekræfte, at serien summerer til
\ displaystyle {\ qquad S\_N = a \ sum\_ {k = 0} ^ N r ^ k = \ frac {a (1-r ^ N)} { 1-r},}
og vi spørger, hvad det betyder at have en uendelig sum. Den konventionelle definition er, at termerne bliver mindre hurtigt nok til, at den samlede værdi nærmer sig en endelig grænse, da N bliver vilkårligt stor. Undersøgelse af denne idé fører os til en betingelse, som er, at det fælles forhold r skal ligge mellem (men ikke være enten) -1 og 1. Eller, | r | , svarende til -1 .
Derefter bliver formlen
\ displaystyle {\ qquad S = \ frac {a} {1-r},}
som udtrykket r ^ N \ to0.
Husk nu, hvordan decimalnotation er defineret: det er virkelig stenografi for en serie af formularen
\ displaystyle {\ qquad \ begin {align *} & a\_ka\_ {k-1} \ ldots a\_1a\_0.b\_1b\_2 \ ldots b\_n \ ldots \\ & \ qquad = a\_k \ times10 ^ k + a\_ {k-1} \ times10 ^ {k-1} + \ ldots + a\_1 \ times10 + a\_0 \\ & \ qquad \ qquad + \ frac {b\_1} {10} + \ frac {b\_2} {10 ^ 2} + \ ldots + \ frac {b\_n} {10 ^ n} + \ ldots, \ end {align *}}
hvor k er den højeste ikke-nul-effekt på ti, der er mindre end tallet, og a\_i, b\_j er decimalcifrene (heltal fra nul til ni).
Talet 9.999 \ ldots = 9. \ dot9 er et tal i denne form, hvor k = 0 og a\_0 = 9 = b\_j for alle positive heltal j. Heldigvis giver dette os præcist form af en geometrisk serie! (Bemærk, at hvert tal i decimalform, hvor cifrene er forskellige fra 9 til højre, er afgrænset ovenfor af en serie som denne.)
Vi kan bare tilslutte ting: den første sigt er a = 9 , og det fælles forhold er r = \ frac {1} {10} . Så med det samme ved vi, at denne serie konvergerer!
Vi får
\ displaystyle {\ qquad S = \ frac {9} {1- \ frac {1} {10}} = \ frac {90} {10-1} = \ frac {90} {9} = 10.}
Meget pænt.
Der er selvfølgelig andre tricks, du kan bruge til at bevise, at 9. \ dot9 = 10 (i decimal, alligevel …), men det bedste (efter min mening) er at forstå noget om, hvad betegnelsen betyder, og hvordan det fungerer – og så er det let at komme til greb med det faktum, at selv i positional notation ikke alle tal kun er repræsenteret på én måde.
Generelt, hvis vi har en gyldig base b, er tallet repræsenteret i den positionelle base med formen 0. (b -1) (b-1) (b-1) \ ldots er altid lig med 1. Således i binær (for eksempel), hvor 0,1 = \ frac {1} {2}, har vi 0,111 \ ldots = \ frac { 1} {2} + \ frac {1} {4} + \ frac {1} {8} + \ ldots = 1. Den uendelige serie “metode” fungerer på samme måde for at bevise dette resultat.