Bedste svar
Der er mange gode svar skrevet for at hjælpe dig med at visualisere, hvad dette spørgsmål betyder for intuitivt at nå en svar på 3. Og intet jeg skriver her er beregnet til at fjerne noget fra værdien af disse svar. De hjælper nye studerende med at tænke på sammenhængen mellem matematik og modellering på en konkret måde, og det er en ENORM færdighed.
Med det sagt er matematik ikke modellering. Så en alternativ måde at tænke på dette problem er fra et rent matematisk perspektiv. Og hvis du udvikler denne færdighed, vil du arbejde dig hen imod at være i stand til at håndtere mere abstrakte former for matematik, der ofte afslutter matematikkarrieren hos studerende, der udelukkende stoler på en mere modelcentreret, intuitiv tilgang.
Du spurgte “Hvad er 3/4 divideret med 1/4?”
Lige der midt i dit spørgsmål brugte du udtrykket “divideret med.” For en matematiker er det en anelse om straks at slå op i DEFINITIONEN af division. Definitioner er de klodser, som matematik er bygget på.
En definition af division (i denne sammenhæng) er:
Givet to tal, a og b (med b \ ne 0), a divideret med b er c hvis c gange b er lig med a.
Så nu ved jeg hvad “divideret med” betyder. Kan vi anvende denne definition på dit problem? Nå, du spørger om 3/4 divideret med 1/4. Det ser ud til, at du har to tal (hvoraf det andet ikke er nul), og du vil vide resultatet til det første divideret med det andet. Så det ser ud til, at denne definition er nøjagtigt hvad du har brug for.
Så nu begynder spillet. Svaret på problemet vil være et hvilket som helst tal, c, således at \ frac 14 \ gange c = \ frac 34.
Her er den gode nyhed. Vi ved nu, hvordan man kontrollerer, om et eller andet svar er det rigtige svar. Vi multiplicerer bare 1/4 med kandidatsvaret, og hvis resultatet er 3/4, er kandidatsvaret korrekt.
Den dårlige nyhed er, at hvis kandidatsvaret IKKE er korrekt, er vi ikke tættere på finde det rigtige svar. Med andre ord hjælper definitionen os ikke med at FIND det rigtige svar. Det hjælper os kun med at kontrollere, om et kandidatsvar er rigtigt.
Så hvad kan vi gøre? Trial and error for altid virker som en dårlig idé. Det ser ud til, at det nu er tid til at opfinde en regel, der altid giver os det rigtige svar.
Jeg foreslår denne regel. Givet to tal a og b \ ne 0, skal en divideret med b altid være lig med gange gensidigheden af b (ofte betegnet \ frac 1b).
Før vi naturligvis kan bruge denne regel, vi skal sørge for, at det altid fungerer. Det er det, vi kalder et bevis. Beviset her er let, da reglen giver mig en kandidatløsning, og definitionen fortæller mig nøjagtigt, hvordan man kontrollerer en kandidatløsning.
Er det sandt, at a \ times \ frac 1b = a divideret med b? Definitionen siger, at svaret vil være c, hvis c gange b er lig med a. Så kan vi gange vores kandidat, a \ times \ frac 1b med b for at få en? Da multiplikation er kommutativ, kan vi klart. Og reglen er bevist. (Vi har netop bevist vores første sætning om deling. Hvis definitioner er ved matematikstenene, er sætninger og bevis den mørtel, der holder dem sammen og gør det muligt at bruge dem til at bygge store strukturer.)
Så det ser ud til, at svaret på vores problem er, at 3/4 divideret med 1/4 skal være lig med produktet af 3/4 og det gensidige på 1/4. Store! Ikke sandt?
Nå, vi har nu ændret vores opdelingsproblem i to problemer. Den ene er et multiplikationsproblem. Den anden er “Hvordan finder jeg det gensidige af 1/4?”
Jeg antager, at du ved, hvordan man multiplicerer tal, så vi har bare et spørgsmål om at finde gensidige. Virkelig, dette er bare endnu et divisionsproblem. Virkelig beder jeg dig nu om at finde 1 divideret med 1/4. Det ser ikke ud som en sejr i starten, fordi jeg er tilbage til at gøre division. Men jeg hævder, at det er en gevinst, fordi vi gik fra at skulle finde ud af, hvordan vi kan opdele ALLE a ved b til bare at skulle finde 1 divideret med b for ikke-nul b. Og den gode nyhed er, at det er let at lære at gætte det rigtige gensidige. Og når du først har gættet det, kan du bekræfte det, da det er netop, hvad definitionen fortæller dig, hvordan du gør. / 4, og definitionen siger, at 4 er svaret, så længe 4 ganget med 1/4 giver 1. Og det er sandt.
Så endelig har vi lært, at 3/4 divideret med 1 / 4 er lig med 3/4 gange 4. Og da jeg ved, hvordan man multiplicerer (for eksempel ved at tilføje 4 eksemplarer af nummeret 3/4), konkluderer jeg, at svaret er 3. Og hvis jeg er virkelig forsigtig, gå tilbage og tjek resultatet ved hjælp af definitionen bare for at være sikker på, at jeg ikke lavede nogen fejl. Så er 1/4 ganget med 3 lig med 3/4? Faktisk er det, så 3 er nu blevet bekræftet for at være den rigtige løsning.
Nu synes svaret VIRKELIG langt og kompliceret – især for en nybegynder i matematik. Jeg får det.Faktisk får du svaret meget hurtigere med en lommeregner eller Google eller ved hjælp af nogle (ikke bevist for dig) teknikker, som de fleste af os lærer tidligt i skolen. Men det er slet ikke pointen.
Det, vi virkelig lærte, er ikke svaret på DETTE problem. Det, vi virkelig lærte, er, at uddelingen af NOE TO tal kræver, at vi ved, hvordan vi gør to ting. Først skal vi vide, hvordan man deler ONE med et hvilket som helst (ikke-nul) tal for at få et gensidigt. Og for det andet skal vi vide, hvordan man multiplicerer to numre. Og den sandhed er langt mere interessant og dybere end at kende svaret på dette spørgsmål. Tilgiv den overforbrugte metafor, men det lærer en mand at fiske i stedet for at give ham en fisk.
Og den virkelige kraft er, at den sætter opdeling i en sammenhæng, der gør det muligt at blive generaliseret. Og generaliseringer af delingen af to tal fører til vigtige ideer. Og det er hvad matematik egentlig handler om!
Svar
Michael Lamar forklarer meget godt i sit svar, hvorfor forståelse af den abstrakte opfattelse af division er matematisk vigtigere end det specifikke svar på \ frac34 \ div \ frac14, så jeg dykker lige ind i generaliseringen:
Hvad er \ frac {n} {m} \ div \ frac {p} {q}?
I a Felt hvert element, der ikke er nul a, har en unik multiplikativ invers a “sådan at
\ quad a \ gange a” = a ” \ gange a = 1 multiplikativ identitet.
Division er defineret i form af multiplikation:
\ quad b \ div a \ equiv b \ gange a “
Multiplikativets inverse af en brøkdel er givet ved at invertere brøken, fordi:
\ quad \ frac {p} {q} \ times \ frac {q} {p} = \ frac {p \ times q} {q \ times p} = 1 derfor \ left (\ frac {p} {q} \ right) “= \ frac {q} {p} (undtagen p = 0).
Derfor er vores division givet ved:
\ quad \ frac {n} {m} \ div \ frac {p} {q} = \ frac {n} {m} \ times \ frac {q} {p} = \ frac {n \ time s q} {m \ times p}
For en spirende matematiker besvarer dette spørgsmålet, i det mindste i sammenhæng med et felt. Den sande (rene) matematiker vil så gerne se, hvordan de kan generalisere yderligere.
Andre vil være mere interesserede i at få det specifikke svar på det originale spørgsmål ved at instantiere n = 3, m = 4, p = 1, q = 4 for at få:
\ quad \ displaystyle \ frac34 \ div \ frac14 = \ frac {3 \ times4} {4 \ times1} = \ frac {12} {4}
Stadig ikke helt 3, men du kan komme dertil med lidt mere abstraktion: en øvelse jeg overlader til den interesserede læser.
I øvrigt kan du for den spirende matematiker måske kontrollere, at vi i endeligt felt \ mathbb F\_5 har:
\ quad \ frac34 \ div \ frac14 = \ frac12 fordi \ frac34 \ equiv2, \ frac14 \ equiv4 og \ frac12 \ equiv3