Bedste svar
Dette er et godt tidspunkt at vise, hvordan matematik fungerer ved at tage et intuitivt, men vagt koncept og gøre det præcist ved smarte definitioner.
Hvad skal vi forstå med det modsatte? En rimelig ting at betyde er, at når vi udfører nogle operationer \ vee (kalder det hvad du vil, banan er for eksempel et fint navn) på x og dets modsatte x ^ *, resultatet skal være noget bananneutralt element n. Det vil sige x og “anti-x” skal annullere hinanden, så x \ vee x ^ * = n. Bemærk, at vi for øjeblikket slet ikke ved meget om banan bortset fra disse formelle egenskaber. Begrebet n er neutral skal i denne forstand betyde, at vi for enhver y skal have y \ vee n = y, det vil sige n påvirker ikke y, når banan anvendes på dem begge.
Dette begreb modsat er grundlæggende i matematik, og det mere almindelige navn for x ^ * er omvendt af x med hensyn til operationen \ vee.
Når \ vee er almindelig tilføjelse + af tal, x ^ * betegnes -x, da x + (- x) = 0 er det neutrale element. Faktisk for ethvert y, y + 0 = y. Så i dette tilfælde er det modsatte af 0 -0, hvilket er 0 i sig selv!
Når \ vee er multiplikation, er det neutrale element 1 (hvorfor?). Så har 0 ikke det modsatte, da intet antal gange nul er et. Der er sammenhænge, hvor matematikere opfinder en multiplikativ modsat 0, og de kalder det normalt \ infty, hvilket giver mening.
Svar
Dette har tidligere været genstand for en del debat i det matematiske samfund indtil Donald Knuth rettede tingene op i 1992, så det er forståeligt, at en vis forvirring dvæler, men den moderne konvention er at definere 0 ^ 0 = 1 med god grund.
Hvad gør 0 ^ 0 betyde? Måske er du blevet lært, at en nul-effekt beregnes ved at dividere en n-effekt med en n-effekt (n> 0); det hjælper ikke i tilfælde af 0 ^ 0 og fører nogle mennesker til at knytte 0 ^ 0 til den udefinerede kvotient \ tfrac {0 ^ n} {0 ^ n} = \ tfrac00. Disse mennesker har ikke forstået, at 0 ^ 2 er perfekt veldefineret og ikke kan tilknyttes den udefinerede kvotient \ tfrac {0 ^ {n + 2}} {0 ^ n} = \ tfrac00 – vi kan ikke bevise hvad som helst ved at indføre en division med nul, hvor ingen eksisterede før.
Men vi behøver slet ikke at appellere til division:
- 1 \ cdot 0 ^ 3 = 1 \ cdot 0 \ cdot 0 \ cdot 0 = 0,
- 1 \ cdot 0 ^ 2 = 1 \ cdot 0 \ cdot 0 = 0,
- 1 \ cdot 0 ^ 1 = 1 \ cdot 0 = 0,
- 1 \ cdot 0 ^ 0 = 1 = 1.
Hvis jeg tager alle dine æbler væk n gange (n> 0) , du har ingen æbler tilbage; men hvis jeg tager alle dine æbler væk 0 gange, har du stadig alle dine æbler. Mere kortfattet er 0 ^ 0 = 1 et tilfælde af tomt produkt , ligesom 0! = 1.
Så hvorfor tog det så lang tid at blive accepteret? Det tilsyneladende problem er, at begrænsende form 0 ^ 0 er en ubestemt form, i den forstand at \ textstyle \ lim\_ {x \ til a} f (x) = \ lim\_ {x \ til a} g (x) = 0 giver dig ingen oplysninger * om grænsen \ textstyle \ lim\_ {x \ til a} f (x) ^ {g (x)}: det kan være enhver ikke-negativ reelt tal, \ infty eller måske ikke findes, afhængigt af de særlige funktioner. Dette syntes at være i konflikt med den enkle intuition ovenfor i over et århundrede. Men den vigtige erkendelse er, at den ubestemte begrænsende form 0 ^ 0 forhindrer os ikke i at tildele en definition til værdi 0 ^ 0 . De er ikke det samme objekt: begrænsende form 0 ^ 0 er kun en forkortelse for den førnævnte grænse, og dens ubestemmelighed betyder kun, at eksponentiering ikke kan være en kontinuerlig funktion i ethvert kvarter af (0, 0).
Dette bør ikke være for overraskende: for eksempel er \ lfloor 0 \ rfloor også en ubestemt form (\ textstyle \ lim\_ {x \ til 0} \ lfloor x \ rfloor findes ikke, \ textstyle \ lim\_ {x \ til 0} \ lfloor x ^ 2 \ rfloor = 0, \ textstyle \ lim\_ {x \ til 0} \ lfloor -x ^ 2 \ rfloor = -1 ), alligevel skriver vi stadig \ lfloor 0 \ rfloor = 0 som en værdi.
Og så tildeler vi nu 0 ^ 0 den værdi, der er nyttig, hvilket er 1. Hvorfor er det nyttigt? Fordi det lader os manipulere eksponentielle uden at tilføje specielle sager .
- Hvis \ textstyle p (x) = \ sum\_ {n = 0} ^ d a\_nx ^ n er en polynom , så er p (0) = a\_0 dens konstante betegnelse – men vi kan ikke engang skrive et polynom på denne indlysende måde, medmindre 0 ^ 0 = 1. Det samme gælder for uendelige magtserier, hvor d erstattes med \ infty.
- Evalueringen af den uendelige geometriske serie : \ begin {split} \ textstyle (1 – x) \ sum\_ {n = 0} ^ \ infty x ^ n & = \ textstyle \ sum\_ {n = 0} ^ \ infty x ^ n – x \ sum\_ {n = 0} ^ \ infty x ^ n \\ & = \ textstyle \ sum\_ {n = 0 } ^ \ infty x ^ n – \ sum\_ {n = 0} ^ \ infty x ^ {n + 1} \\ & = \ textstyle \ sum\_ {n = 0} ^ \ infty x ^ n – \ sum\_ {n = 1} ^ \ infty x ^ n \\ & = \ textstyle \ sum\_ {n = 0} ^ 0 x ^ n = 1, \ end {split} så \ textstyle \ sum\_ {n = 0} ^ \ infty x ^ n = \ frac {1} {1 – x}. er helt gyldig (og endda kontinuerlig) for | x | , inklusive ved x = 0, men kræver 0 ^ 0 = 1.
- binomial sætning (a + b) ^ n = \ textstyle \ sum\_ {k = 0} ^ n \ tbinom nk a ^ {nk} b ^ k holder, selv når a = 0 eller b = 0, men kræver 0 ^ 0 = 1.
- magtregel \ tfrac {d} {dx} x ^ n = nx ^ {n – 1} (n \ ne 0) holder lige i n = 1 ved x = 0, men kræver 0 ^ 0 = 1.
- Jack Huizengas svar giver et andet eksempel: antal funktioner f \ colon S \ to T er \ lvert T \ rvert ^ {\ lvert S \ rvert}, men kun hvis 0 ^ 0 = 1.
- I Kirkens tal kodning af naturerne, eksponentiering er bare funktionsapplikation, og 0 ^ 0 = (\ lambda f. \ lambda x. x) (\ lambda f. \ lambda x. x) = (\ lambda x. x) = 1.
* Den betydning, hvor 0 ^ 0 er en ubestemt form, er svagere end for andre ubestemte former. For komplekse analytiske funktioner f, g med \ textstyle \ lim\_ {x \ til a} f (x) = \ lim\_ {x \ til a} g (x ) = 0, vi har altid \ textstyle \ lim\_ {x \ til a} f (x) ^ {g (x)} = 1, medmindre f er identisk nul (i hvilket tilfælde grænsen ikke eksisterer).
Donald Knuth giver grundlæggende det samme svar i “ To noter om notation ” (1992, s. 6) sammen med historisk baggrund:
[Libri] papir [33] frembragte imidlertid flere krusninger i matematiske farvande, da det oprindeligt dukkede op, fordi det skabte en kontrovers om, hvorvidt 0 ^ 0 er defineret. De fleste matematikere var enige om, at 0 ^ 0 = 1, men Cauchy [5, side 70] havde anført 0 ^ 0 sammen med andre udtryk som 0/0 og \ infty – \ infty i en tabel med udefinerede former. Libris begrundelse for ligningen 0 ^ 0 = 1 var langt fra overbevisende, og en kommentator, der underskrev sit navn, simpelthen “S” steg til angrebet [45]. August Möbius [36] forsvarede Libri ved at præsentere sin tidligere professors grund til at tro, at 0 ^ 0 = 1 (dybest set et bevis på, at \ textstyle \ lim\_ {x \ til 0 ^ +} x ^ x = 1). Möbius gik også videre og præsenterede et formodet bevis for, at \ textstyle \ lim\_ {x \ til 0 ^ +} f (x) ^ {g (x)} = 1 hver gang \ textstyle \ lim\_ {x \ til 0 ^ +} f ( x) = \ lim\_ {x \ til 0 ^ +} g (x) = 0. Selvfølgelig spurgte “S” derefter [3] om Möbius vidste om funktioner som f (x) = e ^ {- 1 / x} og g (x) = x. (Og papir [36] blev stille udeladt fra den historiske optegnelse, da Möbius samlede samlinger i sidste ende blev offentliggjort.) Debatten stoppede der, tilsyneladende med den konklusion, at 0 ^ 0 ikke skulle defineres.
Men nej , nej, ti tusind gange nej! Enhver, der ønsker binomial sætning \ displaystyle (x + y) ^ n = \ sum\_ {k = 0} ^ n \ binom nk x ^ ky ^ {n – k} skal holde i mindst et ikke-negativt heltal n skal tro, at 0 ^ 0 = 1, for vi kan tilslutte x = 0 og y = 1 for at få 1 til venstre og 0 ^ 0 til højre.
Antallet af tilknytninger fra det tomme sæt til det tomme sæt er 0 ^ 0. Det skal være 1.
På den anden side havde Cauchy god grund til at betragte 0 ^ 0 som en udefineret begrænsende form , i den forstand at den begrænsende værdi af f (x) ^ {g (x)} ikke er kendt a priori når f (x) og g (x) nærmer sig 0 uafhængigt. I denne meget stærkere forstand er værdien 0 ^ 0 mindre defineret end f.eks. Værdien 0 + 0. Både Cauchy og Libri havde ret, men Libri og hans forsvarere forstod ikke, hvorfor sandheden var på deres side. p>