Bedste svar
Udtrykket “punktsæt” har ikke en matematisk standarddefinition, så vidt jeg ved. Udtrykket “Lad X være et punkt-sæt” er meningsløst. I “punktsæt-topologi” er udtrykket “punktsæt” et adjektiv, der ændrer “topologi” i modsætning til “algebraisk topologi” eller “differentiel topologi.”
- Punktsæt topologi studerer potentielt patologiske topologiske rum ud fra et i det væsentlige set-teoretisk synspunkt.
- Algebraisk topologi bruger homologisk algebra til at analysere passende pæne sammenhængende rum.
- Differentiel topologi bruger beregning til at studere glatte rum.
Modifikatoren “punktsæt” til topologi angiver derfor, at du potentielt arbejder i en sammenhæng, hvor dine rum er kan ikke studeres via kontinuerlige eller differentierbare metoder.
Svar
En linje kan betragtes som bestående af punkter, men jeg er ikke sikker på, at det er den bedste måde at tænke på det. Og jeg er ret sikker på, at du bør undgå at sige, at en linje er “sammensat af” punkter, fordi ingen af dem er mere grundlæggende end den anden.
I aksiomatiske geometri er linjer og punkter forskellige grundlæggende enheder. To linjer krydser hinanden på et punkt, og der er en streng rækkefølge af forskellige punkter på en given linje. Et interessant træk ved projektiv geometri er symmetrien mellem punkter og linjer: der er en formel dualitet mellem dem. Denne erklæring om to linjer, der mødes på et punkt, svarer formelt til dens dobbelte – to punkter definerer en linje. I den dobbelte visning er et punkt “sammensat af” linjer.
Hvad angår kardinaliteten af punkterne på en linje: dette afhænger af de konstruktioner, du tillader. Med den traditionelle “umærkede lineal og kompas” er der kun et tællelig antal point, vi kan nå på en linje. Når vi tillader grænser for sekvenser af punkter generelt, kan vi nå et hvilket som helst punkt på linjen Realtall, der har utallige kardinalitet af kontinuumet. Men der er ingen særlig grund til at stoppe der: vi kan konstruere f.eks. Den surrealistiske talelinje, hvor forskellige punkter kan være uendeligt tætte, og der er usikker mange af dem (ud over utallige!).