Bedste svar
Fra et teoretisk probabilistisk synspunkt er et tilfældigt felt en familie af tilfældige variabler indekseret af et manifold.
Lad mig forklare:
En stokastisk proces er en familie af tilfældige variabler \ {X (t) \} \_ {t \ i T}, hvor for hver t er X (t) en tilfældig variabel, og t varierer i sæt T kaldet indeks sæt. Teoretisk set sætter definitionen ingen begrænsninger på indekssættet T, det kan være ethvert sæt. Når vi siger stokastisk proces, 99\% af tiden tænker vi faktisk ikke som tiden, derfor skal T være den rigtige linje eller sæt af heltal eller en del af dem.
Når dette er ikke tilfældet, mest almindeligt, når T faktisk er et højere dimensionelt euklidisk rum eller en del af det, eller noget lignende (et “manifold”), så er \ {X (t) \} \_ {t \ in T} kaldes et tilfældigt felt. Ideen er, at da indekset ikke længere er endimensionelt, kan vi ikke tænke det som tid, så vi tænker det som rum. Som et resultat får vi ikke en “proces”, vi får et “felt”. Det, vi får, er således en tilfældig overflade eller en tilfældig multivariat funktion.
Svar
En tilfældig variabel defineres som en målbar funktion
X: \ Omega \ mapsto \ R
Hvor \ Omega er en Sandsynlighedsplads – Wikipedia .
Du skal ikke bekymre dig så meget om den “målbare” del; det vigtigste punkt, jeg vil gøre her, er, at der især i matematik og fysik er en slags ækvivalens mellem funktioner og variabler .
For eksempel siger en almindeligt anvendt form af kædereglen fra Calculus:
\ frac {dy} {dx} = \ frac {dy} {du} \ frac { du} {dx}
men dette giver kun mening, hvis y implicit er en funktion af u og u er implicit en funktion af x. Desuden er på venstre side repræsenterer y faktisk den sammensatte funktion y = y (u (x)).
Du ser også denne type funktion-som-variabel notation hele tiden i differentialligninger. For eksempel når nogen skriver en differentialligning som
y “= y
er det simpelthen forstået at y er en funktion på et eller andet uspecificeret domæne, dvs. y = y (x), og at y “repræsenterer funktionen \ frac {dy} {dx}, og = tegn betyder ligestilling af funktioner. Den “meget opsætning indbygget i den notation!
Jeg nævner dette, fordi tilfældige variabler fungerer nøjagtigt på samme måde. Vi skriver X, men dette symbol henviser til en -funktion X (\ omega). En tilfældig variabel er en funktion, hvis domæne er et sandsynlighedsrum. Sandsynlighedsrummet er næsten aldrig eksplicit i notationen, men det skal defineres i sammenhæng.
Hvad angår hvorfor det kaldes “tilfældigt”, det er bare det ord, vi bruger til ting, som afhænger af et sandsynlighedsrum. Hvis jeg siger “tæl 1 for hoveder, -1 for haler,” har jeg defineret både et sandsynlighedsrum \ Omega = \ {hoveder, haler \} (formodentlig med ensartet fordeling) og en tilfældig variabel X (hoveder) = 1, X (haler) = – 1. Symbolet X betegner ikke et reelt tal, men snarere en funktion med et “tilfældigt” domæne, hvor “tilfældigt” kan defineres løst som “at have en kendt fordeling af resultater.”