Bedste svar
Svar
En stråles akse afbøjes fra sin oprindelige position under påvirkning af påførte kræfter. Afbøjningen af en bjælke afhænger af dens længde, tværsnitsform, materiale, belastningens placering og støtteforhold. Nøjagtige værdier for disse stråledeflektioner søges i mange praktiske tilfælde. Cantilever bjælker har en ende fast, så hældningen og afbøjningen i den faste ende er nul.
1. Endbelastede udkragningsbjælker:
Overvej et afsnit x i en afstand x fra den faste ende A. BM i dette afsnit er givet af Mx = -W (Lx) Men bøjningsmomentet i ethvert afsnit gives som
Ligestilling af de to værdier for bøjningsmoment, vi får,
Derefter integreres ovenstående ligning,
————– (1)
Integrering igen får vi
————– (2)
Hvor C1 og C2 er konstanterne for integration, som er opnået fra randbetingelser, dvs. i) Ved x = 0, y = 0 ii) x = 0, dy / dx = 0
- Ved at erstatte x = 0 , y = 0 0 = 0 + 0 + 0 + C2 C2 = 0
- Ved at erstatte x = 0, dy / dx = 0 0 = 0 + 0 + C1 C1 = 0
Derefter ved at erstatte værdien af C1 i ligning (1)
————- (3)
Equat ion (3) er kendt som hældningsligning. Vi kan finde hældningen til enhver tid på udkrageren ved at erstatte værdien af x. Hældningen og afbøjningen er maksimal i den frie ende. Disse kan bestemmes ved at erstatte værdierne for C1 og C2 i ligning (2), vi får
Ligning (4) er kendt som afbøjningsligning. lad ϴ
B
= hældning i slutningen B dvs. (dy / dx) Y
B
= Afbøjning i slutningen B
a) Ved at erstatte ϴ
B
for dy / dx og x = L i ligning (3) får vi
Negativt tegn viser, at tangens ved B gør en vinkel i retning mod uret med AB
b) Udskiftning af Y
B
for Y og x = L i ligning 4 får vi
2. Ensartet belastede cantilever bjælker:
Men bøjningstidspunkt i ethvert afsnit gives som
Ligestilling af de to værdier for bøjningsmoment, vi får,
Derefter integreres ovenstående ligning,
———– (1)
Integrering igen får vi
———– (2)
Hvor C1 og C2 er konstanterne for integration, som opnås fra randbetingelser, dvs. i) At x = 0, y = 0 ii) x = 0, dy / dx = 0
- Ved at erstatte x = 0, y = 0
- Ved at erstatte x = 0, dy / dx = 0
Derefter ved at erstatte værdien af C1 og C2 i ligning (1) og (2), vi får
———– (4) afbøjningsligning
Fra disse ligninger kan hældningen og afbøjningen opnås ved ethvert afsnit.
For at finde hældningen og afbøjningen ved punkt B erstattes værdien af x = L i disse ligninger. lad
ϴ
B
= hældning i fri ende B dvs. (dy / dx) ved b = ϴ
B
og Y
B
= Afbøjning i den frie ende B
Fra ligning (3) får vi hældning ved B som
Fra ligning (4) får vi afbøjning ved B som
Derefter afbøjningen på et hvilket som helst punkt x langs en ensartet rækkevidde belastet udkraget stråle kan beregnes ved hjælp af: