Bedste svar
Hvis noget kommer nærmere og tættere på 7, siger vi, at det har tendens til 7. Tallene 8, 6.6, 7.1, 6.99, 7.002, 6.9994 og så videre (forestil dig, at en uendelig rækkefølge fortsætter på denne måde) har tendens til 7.
Hvis noget bliver større og større uden bundet, siger vi, at det har tendens til uendelig . Der er ikke behov for at forestille sig et faktisk objekt kaldet “uendelig”. Udtrykket er blot stenografi for “vokser sig større og større uden bundet”.
Hvis noget bliver mindre og mindre uden bundet, siger vi, at det har tendens til negativ uendelighed – og med “mindre” mener jeg ting som -1.000.000.000, ikke ting som 0.001.
Positiv uendelighed er et symbol, der bruges til at betegne grænsen for en sekvens eller funktion, der til sidst overstiger enhver foreskrevet grænse.
Negativ uendelig gør det samme for sekvenser, der til sidst falder under enhver foreskrevet indbinding.
Sekvensen af tal 100, 110, 111, 111.1, 111.11 (og så videre) har ikke tendens til uendelig. Selvom der er uendeligt mange numre her, og selvom de fortsætter med at vokse, overstiger de aldrig 200. De overstiger aldrig engang 112. Faktisk har denne sekvens tendens til 111 \ frac {1} {9}. Dette viser, at ikke hver sekvens, der blot øges for evigt, har tendens til uendelig, så vi ser mere tydeligt forskellen mellem “at være tilbøjelig til uendelig” og blot “monotont stigende”.
Tallene 1, 11, 111, 1111, … har tendens til uendelig. Uanset hvilken tærskel du vælger, til sidst vil tallene i denne sekvens overstige denne tærskel og aldrig igen falde under den. Denne sekvens har tendens til positiv uendelighed .
Sekvensen 1, 2, 4, 8, 16, … af kræfter på 2 har også tendens til positiv uendelighed. Det gør også primtalerne, de sammensatte tal eller mange andre sekvenser.
Sekvensen 0,1,0,2,0,3,0,4,0,5,0,6, … har ikke tendens til uendelig. Selvom en given tærskel til sidst overskrides, overskrides den ikke for godt. Sekvensen insisterer på at falde tilbage til 0, så den ikke har tendens til noget.
Sekvensen -10, -20, -30, -40, … har tendens til negativ uendelig. Enhver tærskel, du er interesseret i at nævne, vil til sidst blive krydset nedenfra. Denne sekvens vil til sidst falde til under -100, og senere vil den falde til under -1.000.000, og på et tidspunkt vil den endda falde under negativ googolplex, og når den først gør det, vil den aldrig stige over den. Dette er hvad “tendens til negativ uendelighed” betyder.
Det samme udtryk bruges til begrænsninger af funktioner. Da x har tendens til 0, har funktionen \ frac {1} {x ^ 2} tendens til positiv uendelighed, mens funktionen – \ frac {1} {x ^ 2} har tendens til negativ uendelighed. Dette betyder bare, at for alle tilstrækkeligt små værdier af x kan den første funktion gøres vilkårligt stor og den anden vilkårlig lille.
Funktionen 1 / x har ikke tendens til noget som x har tendens til 0. Hvis vi begrænser x til at være positiv og har tendens til 0, så har funktionen tendens til positiv uendelighed. Tænk på det gensidige a på 1, så 1/2, så 1/10 osv. Hvis vi tvinger x til at være negativ og har tendens til at 0 har funktionen ligeledes tendens til negativ uendelighed. Dette skal give mening, når man ser på grafen.
Svar
“Negativ uendelighed” og “positiv uendelighed” er udtryk, som matematikere bruger, når de taler om grænser for sekvenser .
En sekvens er bare en liste med tal som \ frac {1} {2}, \ frac {1} {3}, \ frac {1} {4}, \ frac {1} {5}, ….
A grænse er et tal, som en sekvens kommer tættere på og tættere på uden helt at nå det. For eksempel kan du se, at sekvensen ovenfor kommer tættere og tættere på nul, men aldrig helt når den. (Det vigtigste er, at du kan få så tæt som du vil på nul, hvis du fortsætter længe nok. Det er det, der gør nul” til “grænsen ).
Nogle sekvenser, som den jeg skrev ovenfor, har en grænse. Andre har ikke – for eksempel den ret kedelige sekvens 1, -1, 1, -1, 1, -1 , … har ikke noget tal, det kommer tættere på og tættere på. Det går virkelig ikke overalt. Det har ikke en grænse.
Hvad med en sekvens som 1, 2, 3, 4, …? Den går bestemt et eller andet sted (den går ikke bare rundt i en cirkel som den forrige sekvens) – men hvor går det hen?
Matematikere finder det nyttigt at have et navn til, hvor denne sekvens går hen. De siger, at sekvenser som den har gør en grænse, og de kalder den grænse “uendelig” (ellers kendt som “positiv uendelighed” – samme ting).Hvis grænsen for en sekvens er uendelig, betyder det bare, at den fortsætter med at blive større og uanset hvor stort et nummer du tænker på, hvis du fortsætter længe nok, bliver det større end det. Uanset hvilket diagram du bruger, går det ud af diagrammet.
Hvis du forestiller dig, at alle tallene er arrangeret i en linje med nul i midten, sådan her:
… så betyder positiv uendelighed” fra højre ende af linjen “. Det er her min tredje sekvens går.
Jeg forventer, at du nu har gættet, hvad negativ uendelighed er. Det er grænsen for en sekvens som -1, -2, -3, -4,. … Det betyder bare “fra venstre ende af linjen”.
Enkelt som det.