Bedste svar
Rationelle tal er relativt ligetil. De er et ordnet par heltal (m, n) med n \ neq0 under ækvivalensrelationen:
\ quad (a, b) \ equiv (c, d) \ Leftrightarrow ad = bc
Hvad? Det skulle være ligetil? Altså ja. Alt det ækvivalens gobbledygook var bare for at sikre, at halvdelen var halvdelen, hvad enten det var (1,2) eller (2,4) eller endda (-33, -66). Og det ville alle føles mere kendt, hvis jeg skrev det som \ frac12 = \ frac24 snarere end (1,2) \ equiv (2,4), fordi 1 \ times4 = 2 \ times2. Men strengt taget er det, hvad en streng definition af rationelle tal begynder med.
Nu hvor de lette ting behandles, hvad er et reelt tal? På trods af deres navn og deres allestedsnærværende er reelle tal snarere komplicerede dyr. Måske er den enkleste konstruktion, der kortlægges efter vores intuition, den af Dedekind skærer . En Dedekind-snit af de rationelle tal, \ Q, er en opdeling i to ikke-tomme sæt (A, B) således at A \ cup B = \ Q, hvert element i A er strengt mindre end hvert element i B, og A har intet største element. Jeg ved, dit hoved er allerede ved at dreje, men idé er meget enkel: vi klipper bare tallinjen på et eller andet tidspunkt – alle rationale til venstre er i A og alle rationals til højre (eller ved punktet) er i B. Hvis B har et mindst element, var vores klip på et rationelt tal. Hvis B har ikke har det mindst element, var vores klip på Irrationelt nummer. Følgende repræsenterer s Dedekind-skåret til kvadratroden af to (et irrationelt tal):
(Kilde: File: Dedekind cut- kvadratroden af two.png – Wikipedia )
Uanset hvad er cut, (A, B), repræsenterer et reelt tal. Da B = \ Q \ setminus A, kan vi repræsentere et reelt tal af A i sig selv: et ikke-tomt sæt af rationelle tal, der er lukket nedenfor og ikke har noget største element. På en eller anden måde udfylder de irrationelle reelle tal “huller” i de rationelle tal.
Et problem med denne intuition af “huller” er, at de rationelle tal er tætte i realerne – mellem to forskellige distinkte reelle tal der er en rationel (faktisk uendelig mange rationelle). Denne kan få dig til at tro, at der er mindst lige så mange rationelle tal, som der er irrationelle tal. Men nej, kardinaliteten for sættet med irrationelle tal er strengt større end sættet for rationelle tal. På en eller anden måde er det reelle tal “i slutningen” af sættet A med rationelle tal sammen med en række andre reelle tal, som jeg ikke helt kan beskrive i forhold til sættet A. Som jeg sagde, er reelle tal komplicerede dyr: de fleste af dem kan ikke engang beskrives på trods af deres formodede “virkelighed”.
Jeg antyder på en grundlæggende forskel mellem rationelle tal og virkelige tal, der virkelig kræver en grad i matematik for at forstå ordentligt, men jeg håber, at du i det mindste har en smag af forskellen, hvis ikke en fuld forståelse af finesser.
Svar
Reelle tal er tal mellem de rationelle tal . Hvad betyder denne erklæring egentlig?
Overvej kvadratroden af 2. Det kan vises, at den ikke er rationel. Men vi kan finde ud af, hvad dens værdi er, i en hvilken som helst grad af nøjagtighed, ved at identificere alle de rationelle, der er lavere end den, og alle rationerne højere end den. Det er mellem to sæt rationelle tal.
Det gælder for ethvert reelt tal – medmindre det også er rationelt. For ethvert reelt tal er der et sæt rationelle tal, der alle er mindre end eller lig med det, og et andet sæt rationelle, der alle er større end eller lig med det, og hver rationel er i det ene eller det andet af disse to sæt . Den slags partition af rationalerne er nøglen til at konstruere de reelle tal fra rationalerne ved hjælp af Dedekind-nedskæringer.
Overvej to sæt rationelle tal, L (lavere) og H (højere), således at hvert tal i H er højere end hvert tal i L, og de to sæt tilsammen inkluderer hvert rationelt tal. Vi ved, at sådanne sæt L og H findes for ethvert reelt tal, som vi kan beregne algebraisk, men det er ikke de eneste sådanne sæt.
Generelt kan L muligvis have det højeste tal, Lmax ,, eller H har muligvis det laveste antal Hmin. I disse tilfælde ville Lmax eller Hmin være den øvre grænse for L og den nedre grænse for H, og det ville være rationel. Hvis hverken Lmax eller Hmin eksisterer – og vi ved, at de ikke vil gøre det, hvis vi opretter sætene fra et kendt irrationelt tal – definerer vi den øvre grænse for L (som også er den nedre grænse for H) som et reelt tal.
Faktisk skaber vi en sådan partition hver gang vi tilnærmer et irrationelt tal med en decimalbrøk. For eksempel, hvis vi siger, at et irrationelt tal er 1.2345 …, hvad vi siger er, at det er større end 1,2345, men mindre end 1.2346, og når vi skriver flere tal i decimaludvidelsen, tilføjer vi flere tal til sætene, at det er større end og mindre end.
Ved hjælp af disse decimaludvidelser kan vi udlede en vigtig forskel mellem de rationelle tal og reelle tal. De rationelle tal er tællelige ; det vil sige, de kan placeres i en-til-en korrespondance med heltalene. De reelle tal kan ikke tælles.
Hvad er forskellen mellem reelle og rationelle tal?