Bedste svar
Først og fremmest \ sqrt {x} \ stackrel {\ text {def}} {=} x ^ {\ frac12}.
Nu repræsenterer jeg kvadratrodsfunktionen ved dens Taylor-serie. Jeg beregner denne Taylor-serie omkring 16, bare for at være sikker fra enhver irriterende radius af konvergens. Derefter tilnærmer jeg \ sqrt {20} ved at indstille x = 20 i serien.
Definitionen af Taylor-serien af enhver hvilken som helst lysfunktion f \ left (x \ right) er som følger:
f \ left (x \ right) = \ displaystyle \ sum\_ {n = 0} ^ {\ infty} f ^ {\ left (n \ right)} \ left (a \ right) \ frac { \ left (xa \ right) ^ n} {n!}
Her betegner f ^ {\ left (n \ right)} den niende derivat af f. Vi bliver nødt til at beregne masser af derivater, og forhåbentlig vil der være et noget let synligt mønster.
f \ left (x \ right) skal herefter betegne \ sqrt {x}.
Den “nul” -derivat af f er simpelthen f. Jeg har f \ left (16 \ right) som koefficient for den første periode i serien. (Husk, jeg besluttede at centrere Taylor-serien omkring 16 . Kvadratroden af 16 er let nok – det er bare 4 . Fire firere er 16.)
f \ left (x \ right) = 4 \ frac {\ left (x-16 \ right) ^ 0} {0!} + \ cdots
Okay. Tingene bliver lidt udfordrende. Vi er nu nødt til at beregne afledningen af \ sqrt {x}.
Power-reglen siger, at \ frac {\ text {d}} {\ text {d} x} x ^ n = nx ^ { n-1}. I dette tilfælde er n = \ frac {1} {2} (givet \ sqrt {x} = x ^ {\ frac {1} {2}}).
Derfor \ frac {\ tekst {d}} {\ text {d} x} \ sqrt {x} = \ frac {1} {2} x ^ {- \ frac {1} {2}} = \ frac {1} {2 \ sqrt {x}}. Den næste koefficient i serien er derfor \ frac {1} {2 \ sqrt {16}} eller simpelthen \ frac {1} {8}.
Den næste periode i Taylor-serien vil derfor være f “\ left (16 \ right) \ frac {\ left (x-16 \ right) ^ 1} {1!} eller simpelthen \ frac {1} {8} \ frac {\ left (x-16 \ right) ^ 1} {1!}.
Her er den delvise sum indtil videre:
f \ left (x \ right) = 4 \ frac {\ left (x-16 \ right ) ^ 0} {0!} + \ Frac {1} {8} \ frac {\ left (x-16 \ right) ^ 1} {1!} + \ Cdots
Okay. Nu, vi skal beregne sekund afledt af f \ left (x \ right), eller simpelthen beregne derivatet af \ frac {1} {2 \ sqrt {x }}.
Dette kræver brug af kædereglen, fordi vi har en funktion sammensat inden for en anden. En funktion skal herefter betegnes med g \ left (x \ right) = \ frac {1} { x}, og den anden betegnes i det følgende med h \ left (x \ right) = 2 \ sqrt {x}. Den funktion, som vi ønsker at finde afledningen af, er: f “\ left (x \ right) = \ frac {1} {2 \ sqrt {x}}. Med andre ord ønsker vi at finde afledningen af g \ left (h \ left (x \ right) \ right).
Kædereglen siger, at \ frac {\ text {d}} {\ tekst {d} x} g \ venstre (h \ venstre (x \ højre) \ højre) = g “\ venstre (h \ venstre (x \ højre) \ højre) h” \ venstre (x \ højre).
Derivatet af g \ left (x \ right) er – \ frac {1} {x ^ 2} (af Power Rule). Derivatet af h \ left (x \ right) er \ frac {1} {\ sqrt {x}} (i henhold til Power Rule og den egenskab, der antyder \ left (cf \ left (x \ right) \ right) ” = cf “\ left (x \ right)).
Nu har vi den \ frac {\ text {d}} {\ text {d} x} \ frac {1} {2 \ sqrt { x}} = – \ frac {1} {4 \ left (\ sqrt {x} \ right) ^ 3}. Den tredje koefficient i serien er derfor – \ frac {-1} {4 \ left (\ sqrt {16} \ right) ^ 3} (eller mere simpelt – \ frac {1} {256}).
Den tredje periode i serien er: – \ frac {1} {256} \ frac {(x-16) ^ 3} {3!}
Hele delsummen indtil videre:
f \ left (x \ right) = 4 \ frac {\ left (x-16 \ right) ^ 0} {0!} + \ frac {1} {8} \ frac {\ left ( x-16 \ højre) ^ 1} {1!} – \ frac {1} {256} \ frac {\ venstre (x-16 \ højre) ^ 2} {2!} + \ cdots
Jeg fortsætter nu med at beregne det fjerde afledte af f \ left (x \ right).
\ frac {\ text {d}} {\ text {d} x} \ frac {-1 } {4 \ left (\ sqrt {x} \ right) ^ 3} = \ frac {3} {8x ^ 2 \ sqrt {x}}
Den fjerde periode i sekvensen er \ frac {3} {8192} \ frac {\ left (x-16 \ right) ^ 3} {3!}
Summen har nu fire udtryk:
f \ left ( x \ højre) = 4 \ frac {\ venstre (x-16 \ højre) ^ 0} {0!} + \ frac {1} {8} \ frac {\ venstre (x-16 \ højre) ^ 1} { 1!} – \ frac {1} {256} \ frac {\ left (x-16 \ right) ^ 2} {2!} + \ Frac {3} {8192} \ frac {\ left (x-16 \ højre) ^ 3} {3!} + \ cdots
Hvis vi fortsætter med dette mønster, får vi følgende mønster af koefficienter:
\ frac {1} {0.25 }, \ frac {1} {8 }, – \ frac {1} {256}, \ frac {3} {8192}, – \ frac {15} {262144}, \ cdots
Nu er det tid til at finde et mønster og udtrykke sekvens med en eksplicit formel.
Den niende nævner kan repræsenteres af b\_n = \ left (2 ^ {n + 2} \ right) \ left (16 ^ {n-1} \ right) hvilket forenkler til b\_n = 2 ^ {5n-2} (med den indledende værdi på n som 0). Det var let. Hvad med tællerne?
Her er rækken af tællere (ignorerer tegnændring, som bliver taget hånd om senere):
1,1,1,3,15,105,945, \ cdots
…
Hmm…
…
Tællernes mønster er ret simpelt. Tag 945 og divider det med 105. Du får 9. Dernæst, tag 105 og del det med 15. Du får 7. Fortsætter: 15 divideret med 3 er 5, 3 divideret med 1 er 3, og 1 divideret med 1 er 1. Produkter med ulige tal er involveret her.
Den \ venstre (n + 2 \ højre) th term i rækkefølgen af tællere (ekskl. alternering) er derfor:
t\_n = \ displaystyle \ prod\_ {k = 1} ^ {n} \ left (2k + 1 \ right)
Formlen for tællerne er i form af pi-notation. Det ville være bedre, hvis det på en eller anden måde udtrykkes ved hjælp af den faktuelle notation.
Hvis vi deler produktet af de første 2n + 2 heltal med produktet af de lige heltal fra 2 til 2n, får vi produkt af de ulige heltal fra 1 til 2n + 1. Med andre ord
t\_n = \ displaystyle \ prod\_ {k = 1} ^ {n} \ left (2k + 1 \ right) = \ frac {\ left (2n + 2 \ right)!} {\ prod\_ {k = 1} ^ {n + 1} 2k}
Nu kan vi fjerne pi-notationen og erstatte den med et mindre, mere elegant udtryk. Som du kan se, multipliceres 2 i udtrykket med sig selv n + 1 gange. Så vi kan trække 2 ud, placere den foran hovedstaden pi og derefter hæve 2 til kraften n + 1. Det efterlader os med:
t\_n = \ frac {\ left (2n + 2 \ right)!} {2 ^ {n + 1} \ prod\_ {k = 1} ^ {n + 1} k }
Ovenstående ligning kan skrives mere simpelt som:
t\_n = \ frac {\ left (2n + 2 \ right)!} {2 ^ {n + 1} \ venstre (n + 1 \ højre)!}
Du har muligvis allerede bemærket, at serien givet af udtrykket direkte ovenfor er deaktiveret med to udtryk. For at løse dette problem er alt, hvad vi skal gøre, at finde alle n i nævnningsformlen og tilføje dem med 2. Vi bliver også nødt til at gøre det samme med resten af udtrykene med kræfter på x.
Nævnersformlen er endelig 2 ^ {5n + 8}.
Da vi skiftede serien, er vi stadig nødt til at medtage dem, der blev ekskluderet, et eller andet sted i udtrykket. Der vil være andre udtryk, der vises før sigma-notationen i udtrykket. Disse udtryk er 4 og \ frac {1} {8} \ venstre (x-16 \ højre).
Koefficienten for hvert udtryk i serien vil være:
c\_n = \ frac {\ frac {\ left (2n + 2 \ right)!} {2 ^ {n + 1} \ left (n + 1 \ right)!}} {2 ^ {5n + 8}}
som forenkler ned til:
c\_n = \ frac {\ left (2n + 2 \ right)!} {2 ^ {6n + 9} \ left (n + 1 \ right)!}
Det er formlen for den nende koefficient for serien (dette ekskluderede de to første termer, fordi disse udtryk ville forårsage fejl i formlen for t\_n).
Vi kan nu begynde at skrive sigma-notationen (husk, vi skiftede serien for at tage de sassy termer ud, så der vil være nogle ting foran sigma-notationen).
f \ left (x \ right) = 4 + \ frac {1} {8} \ left (x-16 \ right)
– \ frac {1} {256} \ frac {\ left (x-16 \ right) ^ 2} {2 !} + \ frac {3} {8192} \ frac {\ left (x-16 \ right) ^ 3} {3!} – \ cdots
Det er en alternerende serie, der begynder med en negativ, så vi bliver nødt til at gange termerne med (n + 1) th styrke på -1.
f \ left (x \ right) = 4 + \ frac {1} {8} \ left ( x-16 \ højre) + \ displaystyle \ sum\_ {n = 0} ^ {\ in fty} \ frac {\ left (-1 \ right) ^ {n + 1} \ left (2n + 2 \ right)!} {2 ^ {6n + 9} \ left (n + 1 \ right)!} \ frac {\ left (x-16 \ right) ^ {n + 2}} {\ left (n + 2 \ right)!}
Ryddet op:
f \ left (x \ right) = \ sqrt {x} = 2 + \ frac {x} {8} + \ displaystyle \ sum\_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {\ left (x-16 \ right) ^ {n + 1} \ venstre (-1 \ højre) ^ n \ venstre (2n \ højre)!} {2 ^ {6n + 3} n! \ venstre (n + 1 \ højre)!}
HA!
Vi har nu Taylor-serien til denne såkaldte “kvadratrod” -funktion, som bestemt ikke er noget for lommeregnere. Nu er alt, hvad der er tilbage at gøre, at tilnærme kvadratroden på tyve med den taylor-serie, vi lige har fundet ud af.
f \ left (20 \ right) = 2 + \ frac {20} {8 } + \ displaystyle \ sum\_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {\ left (20-16 \ right) ^ {n + 1} \ left (-1 \ right) ^ n \ left (2n \ right )!} {2 ^ {6n + 3} n! \ Left (n + 1 \ right)!}
Forenklet:
f \ left (20 \ right) = \ sqrt {20} = 4,5 + \ displaystyle \ sum\_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {\ left (-1 \ right) ^ n \ left (2n \ right)!} {2 ^ {4n + 1 } \ left (n + 1 \ right) \ left (n! \ right) ^ 2}
Jeg skrev ovennævnte udtryk i Desmos og erstattede \ infty med 15. Desmos vurderede summen. Kvadratroden på tyve er cirka 4.472135955.
Jeg gik dybt ind med dette svar, fordi det ellers ville være kedeligt nok.
Alle, der kan bruge internettet, har adgang til selv mest videnskabelige af lommeregnere. Kvadratrodfunktionen er altid tilgængelig for dig 24/7/365. Takket være dette kender jeg mit svar.
4.472135955 \ stackrel {?} {=} 4.472135955 \ approx \ sqrt {20}
4.472135955 \ stackrel {\ checkmark} {=} 4.472135955 \ approx \ sqrt {20}
Tak for læsningen.
Svar
Nå, lad os prøve uden lommeregner .
Find det nummer, hvis firkant er lige mindre end 20, det er 4.
Find et, hvis firkant er lige over 20 , det er 5.
Så, 4 qrt (20)
Når det, der er identificeret, beregnes gennemsnittet af disse to tal, der er 4,5
AM ≥ GM og GM = √4 * 5 = √20.
Derfor har vi √20 ,5
Så, 4 qrt (20) ,5
Beregn 4,5 kvadrat… 4 * 5 + .25 = 20,25…
Det er bare lidt højt…
Så svaret skal være omkring 4,5 kun ikke tæt på 4 .
Lad os nu prøve at finde det mere korrekt
Tag f (x) = sqrt (x)
f “(x) = o.5 / sqrt (x)
Nu, f (20,25) = 4,5, f (20) =?
Tag ∆x = -0.25
f (x + ∆x) = f (x) + ∆x * f “(x)
(Taylors serie afkortet til første ordre eller du kan ringe til Newton Raphson-metode)
Nu erstatter vi x og ∆x,
f (20) = 4,5 -0,25 * 0,5 (1 / 4,5)
= 4,5 – (1/4) (1/9) = 4,5 – .1111 / 4
= 4,5 -10 ^ (- 4) [(1000 + 100 + 10 + 1) / 4]
= 4,5 – 10 ^ – (4) [250 + 25 + 2,5 + 0,25]
= 4,5 -0,027775
= 4,472225
Derfor, sqrt (20) ~ 4.472225
Og dette er hvad google tilbød som svar.
Så vores svar er ikke så dårligt !!