Bedste svar
Dette er et frygteligt skrevet problem, og selv som en lærers lektion finder jeg det mangler.
Under forudsætning af at du har kopieret det nøjagtigt som angivet, er svaret 9.
Alle streng udtryk evalueres fra venstre mod højre, hvor funktioner og parenteser tager kontrol, når du møder dem, på trods af vildledende akronymer som pemdas.
Således er den første operation division, som giver 9/3 = 3.
Den næste er multiplikation (sammenhæng = multiplikation).
Så det vil være 3 gange resultatet af uanset hvad parentesmængden producerer, så vi holder nu “3 gange” og venter på resultatet af (2 + 1).
Når vi bevæger os inden for parenteser, møder vi først 2+, som “griber” 1 og giver os 3. Vi rammer nu “tæt parentes”, som fortæller os det parentesiske resultat er 3.
Når vi vender tilbage til de “3 gange”, vi har holdt på lur, får vi nu “3 gange 3”, hvilket er 9.
Den visuelle fælde antyder, at vi opgiver rækkefølgen og multiplicerer de 3 først med den parentesiske størrelse; men det er kun for at se, om du forstår processen.
Der er en mere effektiv strategi. Ethvert udtryk afgrænset af addition eller subtraktion, der ikke er “adskilt” fra ethvert andet udtryk ved faktisk eller underforstået parentesisering (eller kvantificering) kan udføres samtidigt. [Dette er sandt, fordi addition og subtraktion er kommutativ og associerende over de reelle tal (og også komplekse tal)]. Inden for sammenkædning af multiplikation og division skal du flytte fra venstre mod højre.
Således 3 * 7 – 2 + 50/2 + (5–3) ^ 2 + 11 – 4 ^ 2 + sin (pi / 6) + 31 – (4 * 3 +6) kan forenkles til:
(-2 + 11 + 31) + (21 + 25 – 16 + .5) + 2 ^ 2 – (12 + 6 ) som bliver
70.5 + 4 – 18
56.5
Alternativt – og sikrere for begyndere – bare flyt fra venstre mod højre og tilføj, træk og rydd op i mængder , tilføj og træk derefter, når det er praktisk, idet du husker, at udtryk er “knyttet” til deres “blytegn”. Dette giver:
21 – 2 + 25 + 4 + 11 – 16 + 0,5 + 31 – 18
Herefter kan du organisere, som du vil. Jeg vælger muligvis:
(21 + 4 + 25) – (2 + 18) – 16 + (11 + 31) + 0,5
50 – 20 – 16 + 42 + 0,5
30 – 10 – 6 + 42,5 [bemærk mit trick med -16].
14 + 42,5
56,5
Øv og blive god til dette; og du har næsten aldrig brug for en lommeregner.
Svar
Den første ting du skal gøre er at skrive de første par udtryk ud og sammenfatte dem og se om du ser mønstre frem . Er der noget, du kan generalisere? Kan du bevise, at dit mønster holder?
\ frac 13 + \ frac 16 + \ frac 1 {10} + \ frac 1 {15} \ cdots
Lad os finde ud af delvise beløb. Arbejd fra venstre mod højre og skriv ned, hvad du har hidtil, og hvad du får, når du tilføjer endnu et udtryk.
\ frac 13, \ frac 12, \ frac 3 {5}, \ frac 2 {3} \ cdots
Interessant, hver brøkdel reduceres til noget ret simpelt.
Hvad hvis vi ikke sagde det i de laveste vendinger. Hvad hvis vi gjorde dette?
\ frac 13, \ frac 24, \ frac 3 {5}, \ frac 4 {6} \ cdots
Nysgerrig! Hvad sker der?
Lad os komme dybere ind i matematikken.
1 + 2 + 3 \ cdots n = \ frac 12 n (n + 1)
Vi kan omskrive dit problem
\ sum\_ \ limits {n = 2} ^ {2017} \ frac 2 {n (n + 1)}
Men vi kan gøre det enklere !
\ frac 2 {n (n + 1)} = \ frac 2n – \ frac 2 {n + 1}
Hvilket betyder
\ sum\_ \ grænser {n = 2} ^ {2017} \ frac 2 {n (n + 1)} = \ sum\_ \ grænser {n = 2} ^ {2017} \ venstre (\ frac 2 {n} – \ frac 2 { n + 1} \ right)
Skriv nu de første par udtryk ud af det… og hvad ser du?
1 – \ frac 23 + \ frac 23 – \ frac 24 + \ frac 24 \ cdots – \ frac 2 {2017} + \ frac 2 {2017} – \ frac 2 {2018}
En hel del vilkår annullerer og efterlader kun den første og den sidste periode.
1 – \ frac 2 {2018}