Bedste svar
Til Abhinav Rk: du sendte dette spørgsmål for næsten tre år siden, så måske du er ikke længere interesseret i et svar. Jeg føler dog, at dit spørgsmål er blevet misforstået i andre forsøg på at besvare det. Jeg tror, du beder om den matematiske formel, der er kodet i Excel af PMT-funktionen, når der er en ikke-nul fremtidig værdi FV. Da jeg undersøgte dit spørgsmål, kunne jeg ikke finde et enkelt eksempel, hvor en sådan beregning blev foretaget, endsige en diskussion af matematikken bag den. Her er mit forsøg på at forstå problemet med den ansvarsfraskrivelse, at jeg kun er bekendt med de mest enkle præsentationer af finansiel matematik, hvor jeg for det meste bygger på kapitel 8 i undervisningsbogen “Thinking Mathematically,” af Robert Blitzer, 7. udgave, Pearson, 2019. Jeg er på ingen måde ekspert i finansmatematik.
Antag, at vi begynder med formlen til beregning af den periodiske betaling ( depositum) på en livrentekonto, der kræves for at opnå en livrente A. Dette gives ved
\ begin {ligning} PMT \, = \, \ dfrac {A \, \ left (\ dfrac {r} { n} \ højre)} {\ venstre [\ venstre (1+ \ dfrac {r} {n} \ højre) ^ {nt} – 1 \ højre]}. \ tag {1} \ end {ligning}
hvor r er rentesatsen udtrykt som en decimal, n er antallet af betalinger pr. år (for eksempel n = 12 hvis der er månedlig betaling / indskud foretaget), og t er antallet af år, for hvilken betalingen foretages. Som reference er produktet n \ gange t lig med variablen “Nper” brugt i Excel.
Hvis et beløb PV lånes på et lån, gives den fremtidige værdi af lånet under disse betingelser ved sammensatte renteformel:
\ begin {ligning} FV\_0 \, = \, PV \, \ left (1+ \ dfrac {r} {n} \ højre) ^ {nt}. \ tag {2} \ end {equation}
Typisk vil du betale lånet med en betaling, der svarer til depositum, der kræves for at opnå en livrente svarende til denne fremtidige værdi, A = FV\_0, i hvilket tilfælde den fremtidige værdi af lånet reduceres til FV\_0 = 0 (Jeg skelner mellem denne fremtidige værdi og et 0-abonnement, som sandsynligvis ser temmelig ukendt ud, men jeg synes, denne notation gør matematikken mere forståelig).
Hvis du dog ønsker at foretage en betaling, der efterlader en ubetalt del af lånet, dvs. en fremtidig værdi, der ikke er nul FV af lånet, så skal du oprette betalinger på en annuitet A, der reducerer den fremtidige værdi til FV = FV\_0 – A. Løser dette for A, er annuitetsværdien, der skal erstattes i ligning (1), så A = FV\_0 – FV, og betalingen gives af
\ begin {ligning} PMT \, = \, \ dfrac {(FV\_0 – FV) \, \ venstre (\ dfrac {r} { n} \ højre)} {\ venstre [\ venstre (1+ \ dfrac {r} {n} \ højre) ^ {nt} – 1 \ højre]}. \ tag {3} \ end {ligning}
Udskiftning af FV\_0 fra ligning (1), dette kan skrives som
\ begin {ligning} PMT \, = \, \ dfrac {(PV \ times C \, – \, FV) \, \ left (\ dfrac {r} {n} \ right)} {C – 1}, \ tag {4} \ end {ligning}
hvor
\ begynder {ligning} C \, = \, \ venstre (1+ \ dfrac {r} {n} \ højre) ^ {nt} \ tag {5} \ slut {ligning}
er sammensætningsfaktoren.
I Abhinav Rks svar gives et eksempel på et problem med hovedværdien PV = 30000, r = 6,5 \\% = 0,065, t = 5 år og FV = -9000. Han fortsætter med henvisning til den nødvendige betaling for dette eksempel ved at spørge “Hvordan beregner jeg dette manuelt”? Excel giver ham værdien $ 459 som løsning.
For hans eksempel finder jeg for sammensætningsfaktoren (bemærk at for at bruge formlen I afledt skal den fremtidige værdi tages positiv: FV = 9000):
\ begin {ligning} C \, = \ , \ left (1+ \ dfrac {0.065} {12} \ right) ^ {12 \ times 5} = 1.382817, \ tag * {} \ end {ligning}
og når dette erstattes i ligning (4) Jeg får
\ begin {ligning} PM T \, = \, \ dfrac {(30000 \ gange 1.382817 – 9000) \, \ left (\ dfrac {0.064} {12} \ højre)} {0.382817} = \ $ 459,64, \ tag * {} \ end {ligning }
i god overensstemmelse med det, han opnåede ved hjælp af Excel.
Forudsat at jeg har udviklet ligningerne korrekt, håber jeg, det kan være nyttigt for dig eller andre, der er interesserede i det samme spørgsmål.
Svar
Fra den officielle Excel 2016-hjælp:
PMT-funktion – Office Support
Syntaks
PMT (rate, nper, pv, [fv], [type])
Bemærk: For en mere komplet beskrivelse af argumenterne i PMT, se PV-funktionen.
PMT-funktionens syntaks har følgende argumenter:
- Pris Påkrævet. Rentesatsen for lånet.
- Nper Påkrævet. Det samlede antal betalinger for lånet.
- Pv Påkrævet.Nuværdien eller det samlede beløb, som en række fremtidige betalinger er værd nu; også kendt som rektor.
- Fv Valgfrit. Den fremtidige værdi eller en kontantsaldo, som du vil opnå efter den sidste betaling. Hvis fv udelades, antages det at være 0 (nul), dvs. den fremtidige værdi af et lån er 0.
- Type Valgfrit. Nummeret 0 (nul) eller 1 og angiver, hvornår betalinger forfalder.
- Indstil typen lig med:
- 0 eller udeladt Hvis betalinger forfalder I slutningen af perioden
- 1 Hvis betalinger forfalder I begyndelsen af perioden
Matematisk kan dette implementeres som:
pmt = Rate * (Fv * -1 + Pv * (1 + Rate) ^ Nper)) / ((1 + Rate * Type) * (1- (1 + Rate) ^ Nper)
Make sørg for, at enhederne i Nper & Rates er konsistente, og at der tages højde for den passende tilstrømning / udstrømning af kontanter.
Nedenfor er den enklere ligning (uden Fv & Type) https://en.wikipedia.org/wiki/Equated\_monthly\_installment
PMT = (Pv * Rate * (1+ Rate) ^ Nper) / [(1 + Rate) ^ Nper – 1]