Bedste svar
En nævneren på 3 antyder intuitivt, at tallet “opdeles” i tre lige store dele. 27 divideret med 3 er 9. Det vil sige, at hver af de 3 grupper er lig med 9.
2/3 indikerer, at ud af de 3 grupper på 9 er kun 2 af de 3 grupper, der bekymrer sig. Derfor er 2/3 9 + 9 = 18.
2/3 af 27 er 18.
Svar
John K Williamsson gav et godt svar: for hvad han kaldte den “beskidte sum” af \ frac {1} {2} og \ frac {8} {9} (det matematiske udtryk for det er mediant ):
\ frac {1} {2} frac {1 + 8} {2 + 9} frac {8} {9}
Han foreslår at brug algebra til at bevise mediant ulighed : hvis a, b, c, d er positive tal og
\ frac {a} {b } frac {c} {d}
derefter
\ frac {a} {b} frac {a + c} {b + d} frac { c} {d}.
Jeg vil gerne tilføje, at den grundlæggende ulighed på grundskoleniveau ikke behøver et algebraisk bevis, det er tilstrækkeligt indlysende.
Faktisk betragt fraktioner \ frac {1} {2} og \ frac {8} {9} som beskrivelser af virkelige situationer:
\ frac {1} {2}: 2 børn har 1 pose frugt .
\ frac {8} {9}: 9 børn har 8 poser frugt.
De kommer sammen og deler lige meget: 1 + 8 poser frugt mellem 2 + 9 = 11 børn, det vil sige de danner mediant:
\ frac {1 + 8} {2 + 9}
I denne deling, hvilken gruppe børn mister, og hvem vinder? Naturligvis 2 børn med 1 taske gevinst: de har \ frac {1} {2} poser pr. Indbygger, den anden gruppe kommer med større andel pr. Hoved: \ frac {8} {9}. Af samme grund mister børn i den anden gruppe.
Jeg bruger et eksempel med børn og poser med slik i mine forelæsninger; her erstattede jeg slik med mere politisk korrekte frugter – måske er jeg nødt til at gå længere og bruge grønne grøntsager i stedet for frugt. Den originale idé tilhørte den store Israel Gelfand, og blev angivet på et mere farverigt sprog:
Du kan forklare matematik for alle, endog for fulde. Hvis du beder nogle mennesker, der drikker vodka på en parkbænk, hvad der er større, \ frac {2} {3} eller \ frac {3 } {4} , de vil svare med forklaringer. Men hvis du spørger dem, hvad er bedre, 2 flasker vodka til 3 mennesker eller 3 flasker vodka til 4 mennesker, de vil med det samme give dig det rigtige svar: af selvfølgelig 3 flasker til 4 mennesker.
Og denne øjeblikkelige konklusion kommer fra et argument, der er vending af det uformelle bevis for den mediant ulighed: hvordan kommer man fra situationen “2 flasker til 3 personer” til situationen “3 flasker til 4 personer”? Det betyder selvfølgelig, at en fjerde mand kommer og bringer en hel flaske med sig – kan du forestille dig en hel flaske vodka! I den medianerende ulighed
\ frac {2} {3} frac {2 + 1} {3 + 1} frac {1} {1},
eller
\ frac {2} {3} frac {3} {4} .
Jeg har set nogle papirer, der bekræfter, at dette er et typisk mønster af aritmetisk tænkning, som det gøres af “normale” mennesker i virkelige livssituationer (for eksempel har jeg set et påstand om, at det bruges af hospitalssygeplejersker til at sammenligne doser af medicin, hvilken er større og hvilken er mindre).