Bedste svar
1×1
Forklaring: Antag , 1. matrix har størrelse a * b og 2. matrix er af størrelse c * d (a & c svarer til række og b & d svarer til kolonne).
Matrixmultiplikation mellem de to matricer er kun mulig, hvis b = c og den resulterende matrix har størrelse a * d.
Her er a = 1, b = 2, c = 2, d = 1. som b = c kan vi multiplicere derefter, og den resulterende matrix vil have størrelse a * d (1 * 1)
Svar
Den vilkårlige matrix to og to er
A = \ pmatrix {a & b \\ c & d}
Det kan have en multiplikativ invers A ^ {- 1} med egenskaben AA ^ {- 1} = A ^ {- 1} A = I, identitetsmatrixen, I = \ pmatrix {1 & 0 \\ 0 & 1}.
Lad os finde det omvendte, A ^ {- 1} = \ pmatrix {x & y \\ z & w}
AA ^ {- 1} = \ pmatrix {a & b \\ c & d} \ pmatrix {x & y \\ z & w} = \ pmatrix {ax + bz & ay + bw \\ cx + dz & cy + dw} = \ pmatrix {1 & 0 \\ 0 & 1}
Vi har to adskillelige to og to lineære systemer,
ax + bz = 1, \ quad cx + dz = 0, \ qquad ay + bw = 0, \ quad cy + dw = 1
Lad os gøre den første, løse for x og z.
adx + bdz = d, \ quad bcx + bdz = 0
(ad-bc) x = d
x = \ dfrac {d} {ad-bc}
acx + bcz = c, \ quad acx + adz = 0
z = \ dfrac {-c} {ad-bc}
Fra det andet system vi får
ady + bdw = 0, bcy + bdw = b
y = \ dfrac {-b} {ad-bc}
og lignende
z = \ dfrac {a} {ad-bc}
Sætter det hele sammen er vi ser
A ^ {- 1} = \ dfrac {1} {ad-bc} \ pmatrix {d & -b \\ -c & a}
Mængden | A | = \ det (A) = ad-bc kaldes determinanten . Det er ikke nul, nøjagtigt når matrixen har en invers. Determinanten er multiplikativ – determinanten af produktet af to firkantede matricer er produktet af deres determinanter.
Matrixen \ pmatrix {d & -b \\ -c & a} kaldes adjugate betegnet \ textrm {adj} (A).
Lad os kontrollere, at A \ textrm {adj} (A) = \ det (A) \; Jeg, matrixen, der alle er nul bortset fra determinanten ned ad diagonalerne.
A \ textrm {adj} (A) = \ pmatrix {a & b \\ c & d} \ pmatrix {d & -b \ \ -c & a} = \ pmatrix {ad -bc & -ab + ba \\ cd -dc & -cb + da} \\ \ qquad = \ pmatrix {ad -bc & 0 \\ 0 & ad-bc} = \ det ( A) \; I \ quad \ checkmark
Svaret på spørgsmålet er, hvis nævneren ikke er nul,
A ^ {- 1} = \ dfrac {1} {ad-bc } \ pmatrix {d & -b \\ -c & a}
er den matrix, vi gange med
A = \ pmatrix {a & b \\ c & d}
for at få identiteten.