Hvis du multiplicerer en 1×2 matrix med en 2×1 matrix, hvad er dimensionerne for den resulterende matrix?


Bedste svar

1×1

Forklaring: Antag , 1. matrix har størrelse a * b og 2. matrix er af størrelse c * d (a & c svarer til række og b & d svarer til kolonne).

Matrixmultiplikation mellem de to matricer er kun mulig, hvis b = c og den resulterende matrix har størrelse a * d.

Her er a = 1, b = 2, c = 2, d = 1. som b = c kan vi multiplicere derefter, og den resulterende matrix vil have størrelse a * d (1 * 1)

Svar

Den vilkårlige matrix to og to er

A = \ pmatrix {a & b \\ c & d}

Det kan have en multiplikativ invers A ^ {- 1} med egenskaben AA ^ {- 1} = A ^ {- 1} A = I, identitetsmatrixen, I = \ pmatrix {1 & 0 \\ 0 & 1}.

Lad os finde det omvendte, A ^ {- 1} = \ pmatrix {x & y \\ z & w}

AA ^ {- 1} = \ pmatrix {a & b \\ c & d} \ pmatrix {x & y \\ z & w} = \ pmatrix {ax + bz & ay + bw \\ cx + dz & cy + dw} = \ pmatrix {1 & 0 \\ 0 & 1}

Vi har to adskillelige to og to lineære systemer,

ax + bz = 1, \ quad cx + dz = 0, \ qquad ay + bw = 0, \ quad cy + dw = 1

Lad os gøre den første, løse for x og z.

adx + bdz = d, \ quad bcx + bdz = 0

(ad-bc) x = d

x = \ dfrac {d} {ad-bc}

acx + bcz = c, \ quad acx + adz = 0

z = \ dfrac {-c} {ad-bc}

Fra det andet system vi får

ady + bdw = 0, bcy + bdw = b

y = \ dfrac {-b} {ad-bc}

og lignende

z = \ dfrac {a} {ad-bc}

Sætter det hele sammen er vi ser

A ^ {- 1} = \ dfrac {1} {ad-bc} \ pmatrix {d & -b \\ -c & a}

Mængden | A | = \ det (A) = ad-bc kaldes determinanten . Det er ikke nul, nøjagtigt når matrixen har en invers. Determinanten er multiplikativ – determinanten af ​​produktet af to firkantede matricer er produktet af deres determinanter.

Matrixen \ pmatrix {d & -b \\ -c & a} kaldes adjugate betegnet \ textrm {adj} (A).

Lad os kontrollere, at A \ textrm {adj} (A) = \ det (A) \; Jeg, matrixen, der alle er nul bortset fra determinanten ned ad diagonalerne.

A \ textrm {adj} (A) = \ pmatrix {a & b \\ c & d} \ pmatrix {d & -b \ \ -c & a} = \ pmatrix {ad -bc & -ab + ba \\ cd -dc & -cb + da} \\ \ qquad = \ pmatrix {ad -bc & 0 \\ 0 & ad-bc} = \ det ( A) \; I \ quad \ checkmark

Svaret på spørgsmålet er, hvis nævneren ikke er nul,

A ^ {- 1} = \ dfrac {1} {ad-bc } \ pmatrix {d & -b \\ -c & a}

er den matrix, vi gange med

A = \ pmatrix {a & b \\ c & d}

for at få identiteten.

Skriv et svar

Din e-mailadresse vil ikke blive publiceret. Krævede felter er markeret med *