Hvor mange nuller er der i 2 crore?

Bedste svar

Det kan besvares på tre måder.

1. 2.00,00.000 – Dette er 2 crore. Antal nuller er 7.
2. 2 Crore – Ingen nuller her. Kun 2 og Crore, stadig crore har o i sig, kan ikke betragtes som nul.
3. 2,00,00,000 betyder, nuller, der er i tal ller = 2,00,00,000 det går fra en interval af negativ uendelighed til 2 crore. Supercomputere kan heller ikke beregne antallet af nuller i det ovennævnte interval.

Svar

Spørgsmålet, “Hvorfor hæves et hvilket som helst tal til magten nul lig med en men nul rejst til nul giver ikke noget svar? ” er selvmodsigende. Den hævder, at ethvert tal (uden at angive, hvad der udgør et tal) hævet til en eksponent på 1 uden nogen undtagelse (såsom via tekst som “ethvert tal undtagen \_\_\_”), og fortsætter derefter med at hævde, at 0⁰ “ikke giver noget svar”. Da 0 er et tal, betyder den første påstand 0⁰ = 1, mens den anden påstand siger 0 says er udefineret – vi kan ikke have begge sande.

Den første påstand skal faktisk betragtes som ubetinget sandt og den anden påstand som falsk; derfor 0⁰ = 1.

De sædvanlige argumenter, der kræver, at 0⁰ betragtes som udefineret:

1. 0⁰ = 0¹⁻¹ = 0¹ / 0¹ = 0/0, hvilket er udefineret, så 0⁰, som er påvist at være lig med 0/0, skal også være udefineret. (En eller anden positiv værdi kan erstattes af 1.) Dette forsøger at bruge en delingslov, men det er et ugyldigt forsøg. Den relevante delingslov er ikke blot x ^ {a-b} = \ frac {x ^ a} {x ^ b}, men den har begrænsninger eller betingelser, der skal angives og overholdes. En af de mange begrænsninger er, at ingen del af anvendelsen af ​​denne opdeling af lovens beføjelser har tilladelse til at involvere en opdeling med 0 eller en gensidig værdi på 0. Denne begrænsning er blevet overtrådt, så vi har ikke lov til at skrive 0¹⁻¹ = 0¹ / 0¹. Fordi lighed for det midterste trin ikke holder, kan vi ikke sige, at den venstre ende er lig med den højre ende. Det samme ugyldige argument kan bruges til at bevise 0³ er udefineret, hvilket vi ved er vrøvl: 0¹ = 0 ved definition af eksponent 1; 0² = 0¹⁺¹ = 0¹ × 0¹ = 0 × 0 = 0; 0⁴ = 0²⁺² = 0² × 0² = 0 × 0 = 0; 0³ = 0⁴⁻¹ = 0⁴ / 0¹ = 0/0, hvilket er udefineret.
2. x ^ 0 = 1 for alle ikke-nul x . 0 ^ x = 0 for alle ikke-nul x . Hvis vi lader x = 0, ville ovenstående udsagn antyde 0⁰ = 1 og 0⁰ = 0, hvilket er en modsigelse, så 0⁰ skal være udefineret. Når folk fremsætter dette argument, holder de ikke pause længe nok til at tænke over, hvad de siger. Den anden erklæring er gyldig for og kun for positiv reel x . Det er forkert at sige “for alle ikke-nul x ” til det andet forhold. Det første forhold er dog faktisk gyldigt for negativ reel x såvel som for positiv reel x plus, ud over det, er det første forhold sandt for alle ikke-nul-komplekse og kvaternion x , noget det andet forhold ikke kan sige. Det giver ikke mening at lægge lige stor vægt på en sag, der kun fungerer for positive reelle værdier til en sag, der fungerer for alle ikke-nul virkelige, komplekse og kvaternionsværdier – sidstnævnte langt bredere er meget værd. Derudover er det for det andet forhold x = 0 det drejer sig om en grænse mellem meningsfulde tilfælde og ikke-meningsfulde tilfælde, så hvorfor skulle vi antage, at de meningsfulde tilfælde er de der gælder, og at de gælder uden justering?
3. Grænsen for x ^ y som x og y uafhængig tilgang 0 eksisterer ikke, fordi trendværdien afhænger af tilgangsstien til x og y mod 0 — der er et bredt bånd af mulige værdier. (Nogle gange er dette argument kombineret med nr. 2 ovenfor.) Problemet med dette argument er, at om en funktion er defineret på et punkt, og hvis ja, hvad er værdien, er uafhængig af, om funktionen har en grænse, der nærmer sig dette punkt, og hvis ja, hvad er værdien af ​​grænsen. Det er meget muligt, at ingen af ​​dem eksisterer; det er meget muligt, at den ene eksisterer, men ikke den anden; det er meget muligt, at begge eksisterer, i hvilket tilfælde de to værdier måske eller måske ikke er de samme. Som et resultat det faktum, at x ^ y ikke har en grænse som x og y tilgang 0 siger ikke noget om 0⁰ er defineret eller udefineret. Diskussionen af ​​grænser med hensyn til, om 0⁰ har en værdi, er totalt irrelevant.Signum-funktionen er et eksempel på en funktion med en stiafhængig grænse, da x nærmer sig 0, men sgn 0 er defineret – især sgn x er defineret til at være 1 for positiv reel x , 0 for x = 0, og −1 for negativ reel x , så x nærmer sig 0 fra venstre giver en grænse på −1 og x nærmer sig 0 fra højre giver en værdi på 1, hvor konflikten betyder, at grænsen ikke eksisterer, selvom sgn 0 = 0. En sådan mangel på grænse berettiger os ikke til at sige, at sgn 0 skal være udefineret.

Det bortskaffer de mest almindelige argumenter, der bruges til at retfærdiggøre betragter 0⁰ som udefineret, så det rejser nu spørgsmålet om, hvilken, hvis nogen, værdi skal 0⁰ defineres som?

Det grundlæggende argument involverer det nullære funktionsprincip anvendt på multipl ication. Produktet af ingen faktorer skal betragtes som den multiplikative identitet 1; symbolsk, \ prod\_ {i = 1} ^ {0} x\_i = 1. (Til beregning af x ⁰, x\_i = x; til beregning af 0 !, x\_i = i.) Denne egenskab afhænger ikke af, om alle kandidater x\_i ikke er nul, eller nogle ikke-nul, og nogle er 0, eller alle er 0. Der er ingen undtagelsestilfælde. Derfor har vi 0! = 1 og vi har x ⁰ = 0 uden begrænsning for alle kvaternioner (ikke kun alle reelle tal, ikke kun alle komplekse tal), så 0⁰ = 1.

Det andet nøglekriterium er nytten. Matematikere definerer ting, fordi de er nyttige til deres forskning. Hvis en definition ikke er nyttig, er der ingen mening at gøre den, så er 0⁰ = 1 faktisk nyttig, ud over det tomme produktregels synspunkt? Svaret er et rungende ja. Tag strømserien til \ text {e} ^ x: \ text {e} ^ x = \ sum\_ {i = 0} ^ {\ infty} \ frac {x ^ i} {i!}. Matematikere har bevist, at denne magtserie konvergerer for alle komplekse tal x , og at resultatet faktisk er \ text {e} ^ x. Da 0 er et komplekst tal, og denne magtserie fungerer for alle komplekse tal, skal den fungere for x = 0. Lad os først udvide summeringen: \ text {e } ^ x = \ frac {x ^ 0} {0!} + \ frac {x ^ 1} {1!} + \ frac {x ^ 2} {2!} +…. Så hvad sker der med x = 0? Vi har: \ text {e} ^ 0 = \ frac {0 ^ 0} {0!} + \ Frac {0 ^ 1} {1!} + \ Frac {0 ^ 2} {2!} +….

Vi ved, at 0 hævet til en positiv eksponent er 0, hvilket gælder for alle termer undtagen det første på højre side af =; alle disse vilkår gør intet, så de kan forsvinde. Vi ved også, at ethvert ikke-nul-komplekst tal, der hæves til en eksponent på 0, er lig med 1, og e er et ikke-nul-komplekst tal, så \ text {e} ^ 0 = 1. Derfor har vi nu: 1 = \ frac {0 ^ 0} {0!}. Matematikere er enige om, at 0! = 1 (tomt produktregel). Derfor er 1 = \ frac {0 ^ 0} {0!} = \ Frac {0 ^ 0} {1} = 0 ^ 0. Se på, hvad vi lige har bestemt: 0⁰ = 1. For at denne magtserie skal fungere, skal vi enten have 0⁰ defineret til at være 1 eller skrive en speciel advarsel med den magtserie, som den gælder for, og kun for ikke-nul kompleks x og udtrykkeligt angive separat, at e⁰ = 1. Hvorfor gør en sådan unødvendig komplikation ved at udtrykke magtserien bare for at undgå at definere 0⁰ = 1 uden nogen væsentlig grund?

Den samme slags ting gælder for talrige andre magtserier, for polynomer, for binomial sætning, for forskellige kombinatoriske problemer og for andre applikationer. Der er mange tilfælde af betydelig forenkling og generalisering, der opstår, så definerer vi 0⁰ = 1.

Der findes ikke tilfælde, hvor det er nyttigt at betragte 0⁰, der defineres som en anden værdi end 1 eller til betragter 0⁰ som udefineret. Den nærmeste situation, der opstår, er i visse situationer i forskning i reel analyse, hvor er det nyttigt at have funktioner kontinuerlige i hele deres domæne. På grund af problemerne med grænserne for x ^ y nærmer sig (0; 0), gør det x ^ y diskontinuerligt ved (0; 0), uanset om 0⁰ i sig selv er defineret, og i så fald til hvilken værdi. At trække et punkt tilbage fra domænet betragter effektivt funktionen som udefineret på det tidspunkt. Men bare fordi det er nyttigt at trække (0; 0) ud af domænet x ^ y til din forskning, betyder det ikke, at sådan skal gøres i alle aspekter af matematik. Jeg skal muligvis håndtere bijektive funktioner for at understøtte inverterbarhed. Hvis jeg arbejder med x ² og har brug for inverterbarhed, skal jeg begrænse domænet til noget som sæt af ikke-negative reelle tal, hvilket betyder for mine formål, at (- 3) ² er udefineret, hvilket ville være en latterlig begrænsning at pålægge dig; ligeledes betyder nogle matematikere, der behøver 0⁰ udefineret, ikke at det er en begrænsning, der pålægges alle matematikere.Faktisk er tomproduktreglen fremherskende i sammenhæng med heltalseksponenter, mens problemer med kontinuitet kun forekommer i sammenhæng med reelle eksponenter. En mulig løsning er at betragte 0⁰ = 1, når eksponenten er et heltal 0, men udefineret eksponenten er en reel 0; hvis dette lyder underligt for dig, at svaret afhænger af, om en værdi betragtes som et heltal versus et mere generelt reelt tal, er dette ikke entydigt for 0⁰ for effektfunktionen, da (-8) ^ {1/3} er betragtes som −2, hvis −8 betragtes som et reelt tal, men at være 1 + i√3, hvis −8 betragtes som et komplekst tal. Strømfunktionen x ^ y ser så enkel ud, men den har en rigtig grim opførsel.