Hvor stort er Rayos nummer i forhold til Grahams nummer?

mindste øvre grænse for et matematisk problem (og der er siden fundet meget mindre øvre grænser for dette problem!). Det eneste der var specielt ved Grahams nummer var, at på det tidspunkt var det det største antal, der er blevet brugt i et betydeligt matematisk bevis eller afledning.

Andre tal, der efterlader Grahams nummer langt bagefter er siden blevet afledt eller brugt i meningsfulde beviser. Et eksempel er TREE (3) , men der er også mange andre.

Rayos nummer er lidt anderledes end alle disse. Ser du, Rayos nummer blev udtænkt specifikt bare for at være et uhyre stort antal. Det er stort set pr. Definition større end nogen af ​​disse andre tal, vi har har talt om. Det er så meget hugger end nogen af ​​dem, at vi ikke engang ved nøjagtigt, hvor stort det er: men vi kender ganske mange forfærdeligt enorme tal, som vi ved, at det skal være større end!

Selvfølgelig er selv Rayos nummer ikke på nogen måde “det største antal”. Der er ikke sådan noget. Vi kan altid føje en til et hvilket som helst nummer og få et lidt større. Vi kan hæve et hvilket som helst tal til sin egen magt og få en ganske stor. Men Rayos antal menes i øjeblikket at være det største endelige antal, som nogen har gidet at give et navn til (eksklusive trivielle udvidelser, som Rayos-Number-plus-one og lignende).

Svar

Rayos nummer i s meget større.

Jeg forklarer, hvad Rayos nummer er, så forstår vi, hvorfor det er meget større end Grahams nummer.

Der er dette gamle paradoks, der går sådan som: Lad N defineres som “Det mindste positive heltal, der ikke kan defineres i højst tolv engelske ord”.

Man kan spørge, hvad er N?

Nå, uanset hvad N er, er det klart definerbar i højst tolv engelske ord, nemlig ordene “Det mindste positive heltal, der ikke kan defineres i højst tolv engelske ord”. Men det er en modsigelse, for pr. Definition kan N ikke defineres med tolv engelske ord.

Paradox! SpoooOoOoOky!

Opløsningen til dette paradoks ud over det faktum, at “engelsk” generelt er vag, er, at “definerbar” er særligt dårligt defineret. Hvis hvilke tal der kan defineres afhænger af ordet “definerbar”, hvis betydning afhænger af hvilke tal der kan defineres, ender du med en cirkulær definition, der ikke kan løses.

Hvorfor bragte jeg dette paradoks op?

Rayos nummer kan ses som en “formalisering” af ovenstående; det bruger matematisk sprog snarere end engelsk, og det gør forestillingen om “definerbarhed” præcis. Rayos nummer er

“Det mindste positive heltal større end noget endeligt positivt heltal navngivet af et udtryk på sproget i første ordens sæt teori med googol-symboler eller mindre. “

Førsteordens sætteori – her betyder” første ordens logik på domænet for Von Neumann-universet , som er en model af Zermelo – Fraenkel sætteori ”- er et præcist matematisk sprog. Dette formelt sprog har den egenskab, at det ikke cirkulært kan kode den samme sætning og skabe et paradoks. (Du kan beskrive ZFC-aksiomerne i første ordenslogik og endda beskrive en mekanisme til evaluering af bevis og så videre, men du kan ikke skabe et Von Neumann-univers i sig selv.)

Så hvorfor er dette større end Grahams nummer?

Nå, Grahams nummer er ikke særlig svært at definere, det kan du læs definitionen på Wikipedia, og den er helt elementær med hensyn til up arr ow notation, der er defineret ved eksponentiering. Bestemt kan du kode Grahams nummer ved at bruge højst, for eksempel 10.000 symboler. Jeg er konservativ her. Og Grahams nummer er ikke tæt på det største antal, der kan defineres i 10.000 symboler. Men Rayos antal er større end ethvert tal, der kan defineres med googol = 10 ^ {100} symboler. Det er uhyrligt hugger end Grahams nummer! Faktisk er første ordens sætteori i stand til at tale om Turing-maskiner, så Rayos antal er meget større end endda BusyBeaver (uanset hvilket stort antal du tænker på).