Bedste svar
En matrixtransformation er på, hvis og kun hvis matrixen har en drejeposition i hver række. Rækkedæmp det, og kontroller derefter, om antallet af drejninger er lig med antallet af rækker.
Ok, med det ude af vejen skal jeg gøre min rant nu.
Hver gang nogen anvender adjektivet “på” eller “lineært uafhængig” på en matrix, krymper jeg lidt. Det er en kategorifejl. I stedet skal du sige, “Hvordan ved du, om der er en matrix transformation ?”
Ser du, terminologi er meget vigtig i matematik . Skønheden ved lineær algebra er, at givet et lineært system eller lineær transformation, kan du skrive ned en matrix, som bare er et rektangel med tal i det, der er knyttet til det lineære system eller den lineære transformation. Derefter gør du forskellige ting med boksen med tal dig tilbage alle mulige oplysninger om det originale system eller transformation. Lineær algebra er primært studiet af disse forhold. Imidlertid afslører de fleste lineære algebra-studerende, når de bruger terminologi forkert, at de ikke helt forstår, hvordan der faktisk er separate begreber at forholde sig til.
Adjektivet “onto” gælder simpelthen ikke for matricer. Dette er som at spørge: “Hvordan kan du se, om en seng er søvnig?” Det faktum, at du stiller dette spørgsmål, betyder, at du ikke forstår, hvad søvnig betyder, eller hvad seng betyder eller begge dele.
Her er et snydeark med hovedtyperne af objekter, der opstår i lineær algebra sammen med et par af de mest almindelige terminologier, der bruges til at beskrive dem:
For matricer A, B er de følgende sætninger ikke gibberish:
– A er i (række echelonform / reduceret række echelonform)
-pivot (positioner / rækker / kolonner ) af A;
-A er (firkantet / diagonalt / inverterbar / øvre trekantet / nedre trekantet)
– (Rank / Determinant / Eigenvalues / Eigenvectors / Characteristic polynomial) of A
– (null space / column space) af A;
– A er (rækkeækvivalent / lignende) til B
-Matrixtransformationen \ mathbf x \ mapsto A \ mathbf x
Hvis A x = b er et system med lineære ligninger , de følgende sætninger er ikke gibberish:
– (Løsning / Løsningssæt / Generel løsning) af systemet
-Systemet har (en unik løsning / ingen løsninger / uendeligt mange løsninger / n gratis variabler)
-Systemet er (konsistent / inkonsekvent / underbestemt / overbestemt)
– (Koefficientmatrix / Augmented matrix) af systemet
Hvis T: \ mathbb R ^ n \ mapsto \ mathbb R ^ m er en lineær transformation , sætninger er ikke gibberi sh. Bemærk, at hvis A er en matrix, kan man tale om matrixtransformation \ mathbf x \ mapsto A \ mathbf x, som er en lineær transformation.
– (Domain / Codomain / Range) of T
– T er (på / en-til-en / inverterbar)
-Standardmatrix af T; matrix af T med hensyn til baser \ beta\_1, \ beta\_2
– (Rank / Determinant / Eigenvalues / Eigenvectors / Characteristic polynom) af T
Hvis S = \ {v\_1, v\_2, \ ldots, v\_n \} er en sæt vektorer i \ mathbb R ^ m , de følgende sætninger er ikke gibberish. Bemærk, at hvis A er en matrix m \ gange n, dannes kolonnerne i A sådan et sæt.
– S er lineært (uafhængig / afhængig)
-Span af S
-S (spænder V / er et grundlag for V ), hvor V er et underområde af \ mathbb R ^ m
Svar
En endelig dimensionel kvadratmatrix er på, i det tilfælde dens determinant ikke er nul. Du kan kontrollere dette mest effektivt med Gaussisk eliminering.
Mere generelt er en endelig rektangulær matrix på, bare hvis dens transponering er injektionsdygtig, hvilket forekommer bare i tilfælde af, at den originale matrixs rækker (eller kolonner afhængigt af den konvention, du bruger til, hvad input er og hvad output er lineært uafhængige, det vil sige, matrixen har fuld række rang. Igen er Gaussisk eliminering din ven: sæt matrixen i række echelonform og kontroller, om den nederste højre post er nul (ækvivalent, om der er nogen rækker med alle nuller). Matrixen er på hvis og kun hvis den nederste højre post ikke er nul.