Bedste svar
Hvorfor bruges k som proportionalitetskonstant?
Ikke kun k . a, b, c, d, m, n, p, q er nogle bogstaver i det romerske alfabet, der ofte bruges som konstanter.
\ alpha, \ beta, \ gamma, \ eta, \ kappa, \ lambda, \ mu, \ pi, \ rho, \ tau og \ omega er nogle ofte anvendte bogstaver i græsk alfabet som konstanter.
Tilbage til dit spørgsmål – ingen ved med sikkerhed hvorfor. Men jeg er overbevist om, at k bruges som konstant næsten overalt, fordi det tyske ord for konstant er konstante https://translate.google.com/#en/de/constant . Og gæt hvad? det første bogstav i dette ord er k . Og tyskerne bidrog enormt i matematik siden starten af den.
Jeg bliver ført til at tro på denne måde, da jeg ikke kun er proportionalitetskonstant k betegner også nogle specificerede konstanterhttps: //en.wikipedia.org/wiki/Mathematical\_constant. Såsom- Boltzmann-konstant , Sierpiński “s konstant , Khinchins konstant , Landau – Ramanujan-konstant – for at nævne nogle få. Jeg kan kun gætte på, at de (de berørte matematikere eller dem, der navngav dem) var opmærksomme på og påvirket af det tyske ord konstante.
Det er alt. Tak for læsningen.
Svar
Dette spørgsmål fremhæver pænt, hvordan fysik adskiller sig fra matematik.
Husk, formålet med enhver ligning i fysik, inklusive Newtons anden lov, er simpelthen at modellere et forhold “i den virkelige verden”. Det betyder hvilke størrelser vi vælger at være konstante, og hvilke vi vælger at være variable, afhænger helt af den fysiske situation, ligningen er beregnet til at modellere.
Med det i tankerne, lad os komme til Newtons anden lov. Newton selv udtrykte ikke oprindeligt sin lov på den måde. Snarere udtrykte han det (i ord) som
\ mathbf {F} = \ frac {d \ mathbf {p}} {dt}
Hvor \ mathbf {F} er kraften (bemærkning, kraft er en vektor), \ frac {d \ mathbf {p}} {dt} er hastigheden for ændring af momentum \ mathbf {p} (også en vektor).
Det er det muligt at fortolke dette som en definition for kraft, og under denne fortolkning er det ikke rigtig meningsfuldt at indsætte en proportionalitetskonstant, fordi en definition af en størrelse typisk fortæller os i de mest direkte termer, hvad denne størrelse er i form af en anden størrelse.
Som skrevet er dette selvfølgelig et sæt af tre ligninger, der specificerer kraftens retning i rummet. I mange situationer er situationens fysik imidlertid sådan, at vi måske kun er interesserede i kraftens størrelse, og så forenkles dette til
F = \ frac {dp} {dt}
Nu er størrelsen af momentum givet ved p = mv. Det mest generelle udtryk for tidsafledningen af denne mængde er
\ frac {dp} {dt} = v \ frac {dm} {dt} + m \ frac {dv} {dt}
Det første udtryk til højre repræsenterer et objekt, der bevæger sig med konstant hastighed, mens dets masse ændrer sig, mens det andet repræsenterer et objekt med en konstant masse, der bevæger sig med en ændret hastighed. Nu tager de situationer, som vi oftest oftest er interesseret i at modellere , massen af objektet til at være en konstant. Det betyder
\ frac {dm} {dt} = 0
Og derfor forsvinder den første periode. Vi står tilbage med
F = m \ frac {dv} {dt} = ma
Og nu skal det være indlysende: I denne ligning er proportionalitetskonstanten m .
Faktisk, hvis vi i stedet havde ønsket at modellere, for eksempel, en raket, der bevæger sig med en konstant hastighed, men som mister masse (dvs. dens masse ændrer sig over tid) fordi det skubber brændstof ud som udstødning, der driver det fremad, ville vi i stedet skrive
F = v \ frac {dm} {dt}
Fordi en konstant hastighed betyder
\ frac {dv} {dt} = 0
Og dermed forsvinder det andet udtryk i det generelle udtryk ovenfor. Så, i denne ligning er proportionalitetskonstanten v.
Hvad dette viser, håber jeg, er, at uanset hvad vi anser for at være den konstante proportionalitet afhænger helt af begivenhederne i den virkelige verden og forholdet mellem dem. For eksempel blev m en konstant proportionalitet mellem styrke og acceleration, netop fordi vi ønskede at modellere en situation, hvor genstandens masse var konstant.Tilsvarende blev v en konstant proportionalitet mellem kraftens størrelse og tidsændringen af masseændring netop fordi vi ønskede at modellere den slags situation.
Lad mig kontrastere dette med, hvordan en rent matematisk tilgang kan se ud. Husk, at sondringen nu er, at vi ikke er ligeglad med, at ligningerne modellerer virkeligheden, vi er kun interesserede i, at de er konsistente (og selvfølgelig, at de fører til ny interessant matematik). Så når jeg bare laver matematik, er jeg helt fri til at overveje masse i hvilke enheder jeg vil have. For at bringe pointen hjem, lad os vælge noget latterligt, som “klatter” som masseenheder. For at bevare konsistens (og kun af den grund) er jeg nødt til at definere forholdet mellem klatter og standardenheder som kilogram. Lad os sige, at jeg definerer
1 kilogram = 3 klatter
Nå, med mine nye enheder er jeg nu nødt til at indsætte en konstant proportionalitet i ligningen, da enhederne Force, Newtons , har ikke klatter i dem. Så i betragtning af masse i enheder af klatter, forkortet med bb, bliver F = ma
F = \ frac {1} {3} kma
Hvor
k = \ frac {1kg} {1bb} er min proportionalitetskonstant. Eller hvis jeg er lidt mere matematisk effektiv, skriver jeg
F = k “ma
Hvor
k” = \ frac {1kg} {3bb } er min nye proportionalitetskonstant, som netop absorberede den konstante \ frac {1} {3}.
Pointen med alt dette er, at disse manipulationer er rent matematiske. De involverede forskelle har intet at gøre med de virkelige forhold, ligningen er beregnet til at modellere. De har intet fysikindhold, og det er grunden til, at du i det væsentlige aldrig ser noget lignende *.
I de fleste situationer er de eneste konstanter af proportionalitet, du ser i fysikken, dem, der påtvunges os af fysikken i situation.
(* Jeg siger “i det væsentlige”, fordi der er nogle situationer, især inden for elektromagnetisme, hvor sådanne problemer opstår på grund af forskellige traditioner for at repræsentere mængder, men de fleste fysikere betragter dem ikke som “fysikproblemer”) )