Bedste svar
Ja, de er de samme. Sandhedsværdien af den logiske forbindelse “hvis p q”, eller p => q, er kun falsk, når p er sand, og q er falsk. Under alle omstændigheder er det sandt. Tænk over det på denne måde: hvis jeg sagde til dig “Jeg møder dig, hvis vejret er varmt” (her p – vejret er varmt, q – jeg møder dig) og vejret var ikke varmt, uanset om jeg besøgte dig eller ej – jeg lyver ikke. Denne sætning vil kun være en løgn, hvis vejret var varmt, og jeg ikke besøgte dig.
Vi kan tegne det i en sandhedstabel:
pqp => q
TTTTFFFTTFFT
Hvis q derfor er falsk, og vi har udsagnet “hvis p så q “for at være sandt, kan vi være sikre på, at p er falsk; da per definition, hvis p var sandt, skal q også være sandt. Derfor svarer p => q til “p kun hvis q”. Hvis jeg ikke lyver, da jeg sagde, at jeg vil besøge dig, hvis det er varmt, og jeg ikke besøgte dig, kan du være sikker på, at det ikke var varmt.
Det er også nøjagtig betydning af udsagnet “q er en nødvendig betingelse for p”: det betyder, at for at p skal være sandt, skal q være sandt (selvom hvis q er sandt, kan p enten være sandt eller falsk). Hvis jeg ikke lyve, og jeg ikke besøgte dig, kan du være sikker på, at det ikke var varmt, men hvis jeg besøgte dig, kan du ikke vide, om det var varmt eller ej: Jeg kan også besøge dig, når det ikke er “t varmt.
Svar
Da du spurgte om (~ P eller Q), viser sandhedstabellen, at den er sand:
men jeg formoder, at det ikke vil give dig den intuition, du forventede (selvom tabellen til venstre vil være nyttig senere). Personligt finder jeg ~ P ELLER Q ikke en intuitiv måde at tænke på det, men i stedet vil jeg prøve at give dig en intuition af, hvad en implikation (i det mindste hvad jeg tror og giver mening for mig) forsøger at fange intuitivt og dermed svare på din første del, hvorfor det kun er falsk, når P er sandt, og Q er falsk.
Den første ting er at tænke på en implikation, hvis q \ implicerer q som en enkelt sætning, dvs. det tager to propositioner og returnerer enten sand eller falsk. Nu hvor vi tænker på det som et fuldt “objekt”, overvej nu følgende eksempel:
Hvis “jeg vinder valget”, vil “skatterne gå ned.
hvor det foregående p = “Jeg vinder valget” og den deraf følgende q = “skatten vil falde”. Så meget som jeg ville ønske, jeg kunne have undgået, tænk på en implikation som et løfte af en politiker eller en person eller en matematiker. Lad os nu overveje alle 4 muligheder for sandhedsværdierne for det foregående p og deraf følgende q.
- Hvis begge er sande (første række sandhedstabel), hvad kan du så sige om løftet som en hel? dvs. om implikationen som helhed? Hvad kan du sige om politikeren? Nå, hvis politikeren vandt valget og derefter skattene faldt, så er løftet naturligvis IKKE en løgn! dvs. han sagde sandheden! Huray, første række forklaret
- Hvad hvis den ene er sand og den anden er falsk? Hvis antecedenten er sand, betyder det, at han vandt valget, men hvis det følgende ikke er et fald i skatten, hvad kan du så sige om løftet som helhed? Politikeren løj ! Så selvfølgelig bør man betragte implikationen som en hel falsk.
- Men hvad hvis han ikke vandt? dvs. antecedenten er falsk. Hvis det sker, uanset hvad der sker bagefter, kan politikerens løfte ikke betragtes som en løgn . Med andre ord, hvis han ikke vinder, og hvis skatten stiger, så lyver han for os? Nå, nej og det er det. Han lyver ikke, fordi noget kan følge, hvis han taber, og hvad der end ikke sker, gør ikke politikeren til en løgner (det gør heller ikke implikationen falsk).
- At understrege den sidste række i sandhedstabellen med vores eksempel, hvis politikeren IKKE vandt og skatten IKKE faldt, kan du bebrejde ham for at lyve? Nej, du kan ikke beskylde politikeren for at lyve, fordi han ikke lovede noget, hvis han ikke vandt.
For mig, hvis implikationer tænkes på et helt matematisk objekt, der kan have en vis sandhed, så er det virkelig åbenlyst, hvorfor implikationer defineres, som de er.
En anden måde at tænke på det er, at hvis antecedenten er sand, skal den ALDRIG antyde en falsk erklæring. Derfor, når folk satte sig ned for at beslutte, hvordan sandhedstabellen for en implikation skulle defineres som, besluttede de, at hvis antecedenten er sand, og konsekvensen er falsk, så skulle implikationen ikke være sandt. I modsætning hertil troede de sandsynligvis, at hvis antecedenten er falsk, så kan noget følge, fordi startantagelsen ikke holder ikke , så alt kan følge af en falsk starterklæring.Med andre ord, hvis du starter med en falsk antagelse, skal du være i stand til (logisk) at konkludere, hvilken fjollet ting du måtte forestille dig (selvfølgelig siden du startede ud fra en antagelse!).
Håber dette hjælper!
(eksemplet er ikke mit, men fandt det online som for 2 år siden og troede, det ville være rart at dele!)