Sådan beregnes værdien af ​​Phi


Bedste svar

To størrelser er i gyldne forhold hvis deres forhold er det samme som forholdet mellem deres sum og den største af de to størrelser.

Nu, hvis vi lader a og b (b> a) være to størrelser i det gyldne forhold, så er

\ dfrac {b} {a} = \ dfrac {a + b} {b} \ overset {\ mathrm {def} ^ n} {=} \ varphi \ tag * {}

\ dfrac {b} {a} = \ dfrac {a} {b} +1 \ tag * {}

\ dfrac {b} {a} = \ dfrac {1} {\ frac {b} {a}} + 1 \ tag * {}

\ varphi = \ dfrac {1} {\ varphi} +1 \ tag * {}

\ varphi ^ 2- \ varphi-1 = 0 \ tag * {}

Den kvadratiske formel afslører, at

\ varphi = \ dfrac {1+ \ sqrt {5}} {2} \ ca. 1.618 \ tag * {}

(Den anden løsning giver \ frac {a} {b} eller \ varphi ^ {- 1} )

Som andre har nævnt, er forholdet mellem to på hinanden følgende Fibonacci-tal også tilnærmelsesvis \ varphi.

Faktisk for enhver sekvens, der tilfredsstiller gentagelsesrelationen (med frøværdierne A\_0, A\_1 ikke begge dele 0 fordi det bliver en konstant sekvens ),

A\_n = A\_ {n-1} + A\_ {n-2} \ tag * {}

Grænsen for \ dfrac {A\_n} {A\_ {n-1}} som n \ til 0 nærmer sig \ varphi .

Dette kan bevises ved at lade L være grænsen,

L = \ lim \ limits\_ {n \ to \ infty} \ dfrac {A\_n} {A\_ {n-1 }} \ tag * {}

Brug gentagelsen,

L = \ lim \ limits\_ {n \ to \ infty} \ dfrac {A\_ {n-1} + A\_ { n-2}} {A\_ {n-1}} tag * {}

L = 1 + \ lim \ limits\_ {n \ to \ infty} \ dfrac {A\_ {n-2}} {A\_ {n-1}} \ tag * {}

L = 1 + \ lim \ limits\_ {n \ to \ infty} \ dfrac {1} {\ frac {A\_ {n-1} } {A\_ {n-2}}} \ tag * {}

L = 1 + \ dfrac {1} {L} \ tag * {}

Igen ved at multiplicere med ved L og ved hjælp af den kvadratiske formel kan du vise, at

L = \ varphi \ tag * {}

Svar

Konstruktion med kompas og lineal

Scott Beach udviklede en måde at repræsentere denne beregning af phi i en geometrisk konstruktion:

Som Scott deler på hans websted: Triangle ABC er en rigtig tria ngle, hvor målingen af ​​vinklen BAC er 90 grader. Længden af ​​side AB er 1 og længden af ​​side AC er 2. Pythagoras sætning kan bruges til at bestemme, at længden af ​​side BC er kvadratroden på 5. Side BC kan udvides med 1 længdeenhed for at etablere punkt D. Linjesegment DC kan derefter halveres (divideret med 2) for at etablere punkt E. Længden af ​​linjesegment EC er lig med Phi (1.618…).

Phi nomenal!

Kilde: http://www.goldennumber.net/phi-formula-geometry/

Skriv et svar

Din e-mailadresse vil ikke blive publiceret. Krævede felter er markeret med *