Bedste svar
To størrelser er i gyldne forhold hvis deres forhold er det samme som forholdet mellem deres sum og den største af de to størrelser.
Nu, hvis vi lader a og b (b> a) være to størrelser i det gyldne forhold, så er
\ dfrac {b} {a} = \ dfrac {a + b} {b} \ overset {\ mathrm {def} ^ n} {=} \ varphi \ tag * {}
\ dfrac {b} {a} = \ dfrac {a} {b} +1 \ tag * {}
\ dfrac {b} {a} = \ dfrac {1} {\ frac {b} {a}} + 1 \ tag * {}
\ varphi = \ dfrac {1} {\ varphi} +1 \ tag * {}
\ varphi ^ 2- \ varphi-1 = 0 \ tag * {}
Den kvadratiske formel afslører, at
\ varphi = \ dfrac {1+ \ sqrt {5}} {2} \ ca. 1.618 \ tag * {}
(Den anden løsning giver \ frac {a} {b} eller \ varphi ^ {- 1} )
Som andre har nævnt, er forholdet mellem to på hinanden følgende Fibonacci-tal også tilnærmelsesvis \ varphi.
Faktisk for enhver sekvens, der tilfredsstiller gentagelsesrelationen (med frøværdierne A\_0, A\_1 ikke begge dele 0 fordi det bliver en konstant sekvens ),
A\_n = A\_ {n-1} + A\_ {n-2} \ tag * {}
Grænsen for \ dfrac {A\_n} {A\_ {n-1}} som n \ til 0 nærmer sig \ varphi .
Dette kan bevises ved at lade L være grænsen,
L = \ lim \ limits\_ {n \ to \ infty} \ dfrac {A\_n} {A\_ {n-1 }} \ tag * {}
Brug gentagelsen,
L = \ lim \ limits\_ {n \ to \ infty} \ dfrac {A\_ {n-1} + A\_ { n-2}} {A\_ {n-1}} tag * {}
L = 1 + \ lim \ limits\_ {n \ to \ infty} \ dfrac {A\_ {n-2}} {A\_ {n-1}} \ tag * {}
L = 1 + \ lim \ limits\_ {n \ to \ infty} \ dfrac {1} {\ frac {A\_ {n-1} } {A\_ {n-2}}} \ tag * {}
L = 1 + \ dfrac {1} {L} \ tag * {}
Igen ved at multiplicere med ved L og ved hjælp af den kvadratiske formel kan du vise, at
L = \ varphi \ tag * {}
Svar
Konstruktion med kompas og lineal
Scott Beach udviklede en måde at repræsentere denne beregning af phi i en geometrisk konstruktion:
Som Scott deler på hans websted: Triangle ABC er en rigtig tria ngle, hvor målingen af vinklen BAC er 90 grader. Længden af side AB er 1 og længden af side AC er 2. Pythagoras sætning kan bruges til at bestemme, at længden af side BC er kvadratroden på 5. Side BC kan udvides med 1 længdeenhed for at etablere punkt D. Linjesegment DC kan derefter halveres (divideret med 2) for at etablere punkt E. Længden af linjesegment EC er lig med Phi (1.618…).
Phi nomenal!
Kilde: http://www.goldennumber.net/phi-formula-geometry/