Bedste svar
Den “omkreds” af enhver lukket form er simpelthen summen af længderne af alle dens grænser. En “sektor” (af en cirkel) er afgrænset af en bue og to radier, så omkredsen er to gange radien (r) plus buens længde. Buen er en brøkdel af cirkelens omkreds, som er to-pi gange radius.
Derfor er alt, hvad vi behøver at vide, radius og brøkdel af omkredsen (2 * pi * r) undertrykt ved buen. Den brøkdel er den samme som den brøkdel af cirkelens område sektoren optager, hvilket er den samme som den brøkdel den centrale vinkel tager ud af 360 grader (eller 2-pi radianer).
Hvis den centrale vinklen (ved punktet i sektoren) er “theta”, så er buen omkredsen (pi * 2 * r) gange den brøkdel, der er lavet af theta-grader / 360-grader (eller theta-radianer / 2-pi radianer) .
For eksempel, hvis theta er 90 grader, er buen en fjerdedel af cirklen med en længde på: (1/4) * 2 * pi * r, så omkredsen er den buelængde plus 2 * r (for siderne dannet af radier).
Hvis theta er pi / 6 radianer (30 grader), er buens længde (30/360) * 2 * pi * r, så sektorens omkreds er = r * [2 + pi / 6].
Generelle formler for omkredsen af en sektor med theta udtrykt i grader ville være:
- [2 + (2 * pi) * theta (grader) / 360] * r
Hvis theta udtrykkes i radianer, bliver formlen:
- [2 + theta ( radianer)] * r
Svar
Vi ønsker formlen for omkredsen af et cirkelsegment.
Overvej segmentet ABC af en cirkel med centrum O med radius r.
Lad \ vinkel AOB = \ theta.
\ Rightarrow \ qquad Længden af buen ACB = r \ theta.
\ trekant AOB er ligebenede.
\ Rightarrow \ qquad Projektionen af både OA og OB på AB er r \ sin \ left (\ frac {\ theta} {2} \ right).
\ Rightarrow \ qquad Akkordlængden AB = 2r \ sin \ left (\ frac {\ theta} {2} \ højre).
Området for segment ABC er summen af længden af buen ACB og akkorden AB.
\ Rightarrow \ qquad Omkredsen af segmentet ABC = r \ theta + 2r \ sin \ left (\ frac {\ theta} {2} \ right).