Bedste svar
George Gamow forklarer, hvordan Galileo nåede frem til denne formel i sin bog “Gravity”.
Galileo studerede faldende kroppe. Han ønskede at kende det matematiske forhold mellem tid, der tages af et objekts fald og den tilbagelagte afstand. Så han gjorde et eksperiment.
Han byggede et skråt plan. Så lod han kuglerne af forskellige materialer rulle ned ad flyet (han skubbede dem ikke). Han målte afstande dækket af bolden i slutningen af 1., 2., 3. og 4. sekund. Han kunne direkte have arrangeret det frie boldfald. Men frit fald er ret hurtigt, og han havde ikke gode ure på det tidspunkt. Ved at udføre eksperiment på skråt plan reducerede han tyngdekraften, der virkede på kuglen, og øgede tiden til at nå bunden, som afhænger af skråplanens skråning. Følgende figur forklarer dette:
Fra figuren kan vi vise,
[matematik] \ frac {mgsin (a)} {mg} = sin (a) = \ frac {x} {z} [/ matematik].
Derfor mindre x, mindre vil bevægelsen forårsage kraft og mere er den tid det tager af bolden at nå bunden. Galileo fandt ud af, at afstandene, der er dækket af bolden i slutningen af 2., 3. og 4. sekund, er henholdsvis 4, 9 og 16 gange den tilbagelagte afstand i slutningen af 1. sekund. Dette viser, at kuglehastigheden stiger på en sådan måde, at kuglens afstande stiger, når kvadraterne på rejsetiden er. Nu var spørgsmålet, hvordan man skal forbinde hastighed med den tid, der er angivet ovenfor forholdet mellem afstand og tid. Galileo sagde, at denne form for afstand-tidsforhold kun kan opnås, når kuglehastigheden er direkte proportional med tiden. Følgende figur viser hastigheden versus tidsplanen for ovennævnte eksperiment og Galileos udsagn:
I figuren ovenfor, punkt A svarer til en kugleposition nul (øverst på skråt plan) og punkt B svarer til en kugle med hastighed v i slutningen af tidsintervallet t. Vi ved, at området med trekanten ABC giver os den afstand, der er dækket af kuglen , s, i tidsinterval (0, t). Derfor er den tilbagelagte afstand,
s = \ frac {1} {2} vt.
Men ifølge Galileos argument, v er direkte proportionalt med t dvs. v = ved hvor a er acceleration.
[matematik] s = \ frac {1} {2} vt = \ frac {1} {2} ved ^ 2. [/ matematik]
Så den tilbagelagte afstand øges som det kvadrat af tid, som var vores eksperimentelle observation. Denne formel giver afstand, når der ikke er nogen starthastighed til bolden. Men når bolden har en indledende hastighed, u, tilføjes udtrykket “ut” til ovenstående formel, som er den afstand, der er dækket i tid t ved hastighed u. Dette udtryk øger bare afstandene målt i vores eksperiment, men opretholder det samme forhold mellem afstand og tid. Derfor er den endelige formel:
s = ut + \ frac {1} {2} ved ^ 2.
Svar
Når du prøver at bevise noget relateret til positive heltal, skal din første tanke være induktion. Problemet er, at der ikke er nogen umiddelbart indlysende måde at gå videre på. Vi vil være i stand til at tilføje noget til begge sider af uligheden, men så vil båndet på højre side øges.
Tricket til dette problem er at gøre båndet stærkere, end det er i øjeblikket. Så vi vil bevise den relaterede erklæring
\ dfrac {1} {2 ^ 2} + \ dfrac {1} {3 ^ 2} + \ dfrac {1} {4 ^ 2} + \ cdots + \ dfrac {1} {n ^ 2} dfrac {3} {4} – \ dfrac {1} {n}
for alle positive heltal n \ geq 3. Den originale sætning følger med tillader n at nærme sig uendeligt.
Bemærk, at vi for ethvert positivt heltal k har
\ dfrac {1} {k} – \ dfrac {1} {(k + 1 ) ^ 2}> \ dfrac {1} {k} – \ dfrac {1} {k (k + 1)} = \ dfrac {k} {k (k + 1)} = \ dfrac {1} {k + 1}.
Når vi ved dette, kan vi fortsætte med induktion.
Da \ dfrac {1} {2 ^ 2} + \ dfrac {1} {3 ^ 2} = \ dfrac {13} {36} dfrac {5} {12} = \ dfrac {3} {4} – \ dfrac {1} {3}, basissagen n = 3 er sand.
Antag nu, at udsagnet er sandt for nogle k, nemlig at
\ dfrac {1} {2 ^ 2} + \ dfrac {1} {3 ^ 2} + \ dfrac {1} { 4 ^ 2} + \ cdots + \ dfrac {1} {k ^ 2} dfrac {3} {4} – \ dfrac {1} {k}.
Vi ønsker at vise, at sætning gælder også for k + 1. For at gøre dette skal du tilføje \ dfrac {1} {(k + 1) ^ 2} til begge sider:
\ dfrac {1} {2 ^ 2} + \ dfrac {1} {3 ^ 2 } + \ cdots + \ dfrac {1} {k ^ 2} + \ dfrac {1} {(k + 1) ^ 2} dfrac {3} {4} – \ dfrac {1} {k} + \ dfrac {1} {(k + 1) ^ 2}.
Fra den ulighed, vi har vist ovenfor, forenkles dette til
\ dfrac {1} {2 ^ 2} + \ dfrac {1} {3 ^ 2} + \ cdots + \ dfrac {1} {k ^ 2} + \ dfrac {1} {(k + 1) ^ 2} dfrac {3} {4} – \ dfrac {1} {k + 1},
hvilket er præcis det, vi ønskede at bevise.
Derfor er den ændrede sætning ved princippet om matematisk induktion sand for alle heltal n \ geq 3, så den oprindelige erklæring er også sand.
REDIGERING: Som Predrag Tosic påpegede i kommentarerne, når vi tillader n at nærme sig uendeligt, skal egnet ændres til a \ leq i hvis de to sider af uligheden konvergerer til den samme værdi.Dette kan dog løses ved i stedet at bevise uligheden
\ dfrac {1} {2 ^ 2} + \ dfrac {1} {3 ^ 2} + \ dfrac {1} {4 ^ 2} + \ cdots + \ dfrac {1} {n ^ 2} dfrac {3} {4} – \ epsilon – \ dfrac {1} {n}
for en lille værdi af \ epsilon ( sig, \ dfrac {1} {100}), som når n nærmer sig uendeligt ville resultere i
\ dfrac {1} {2 ^ 2} + \ dfrac {1} {3 ^ 2} + \ dfrac {1} {4 ^ 2} + \ cdots \ leq \ dfrac {3} {4} – \ epsilon,
hvorfra den ønskede sætning følger.