Bedste svar
Gavin Song har allerede givet dig et godt svar, men jeg vil gøre mit bedste for at give dig et alternativ måde at se på dette problem ved hjælp af Calculus.
Fakta: Enhver 2D-ellipse kan parametriseres som
\ begin {align *} y (t) & = a \ sin (t) \\ x (t) & = b \ cos (t) \ end {align *}
Hvor 0 \ leq t \ leq 2 \ pi og a og b er semi-minor og semi-major akser (aka henholdsvis de lodrette og vandrette radier).
Overvej et punkt har en ændring i x-aksen og en anden i y-aksen, siger \ Delta y og \ Delta x. Ved hjælp af Pythagoras sætning ved vi, at længden mellem punktets start- og slutposition er givet af (\ Delta y ^ 2 + \ Delta x ^ 2) ^ {1/2}. Enkelt, ikke?
Anvend nu denne logik på den parametriserede ellipse. For at tilnærme ellipsens omkreds kunne vi “følge” et punkt på ellipsen langs flere trin i t, måle længden mellem dens placeringer ved hvert interval og tilføje dem i slutningen. Hvis du prøver at gøre dette selv, vil du bemærke, at målingen bliver mere og mere præcis, hvis vi overvejer mindre og mindre intervaller. Så for at få den sande omkreds kunne vi udføre denne proces i uendeligt små intervaller, hvilket ville give uendeligt små ændringer i x og y, siger dx og dy. Dette svarer til at evaluere følgende integral:
\ int\_ {0} ^ {2 \ pi} (dx ^ 2 + dy ^ 2) ^ {1/2}
Lad omkredsen udtrykkes som l. Hvis vi bruger parametriseringen fra tidligere, kan vi udtrykke dette som
\ begin {align *} l & = \ int\_ {0} ^ {2 \ pi} \ Big (\ Big (\ frac {dy } {dt} \ Big) ^ 2 + \ Big (\ frac {dx} {dt} \ Big) ^ 2 \ Big) ^ {1/2} dt \\ & = \ int\_ {0} ^ {2 \ pi } (a ^ 2 \ cos ^ 2 (t) + b ^ 2 \ sin ^ 2 (t)) ^ {1/2} dt \ end {align *}
Der er dog en fangst. Denne integral har ingen symbolsk løsning, medmindre a = b (som elegant giver os formlen for omkredsen af en cirkel), så vores eneste mulighed er at bruge numeriske metoder til at få en god tilnærmelse. Dette kan være interessant eller skuffende for dig, men uanset hvad håber jeg, det hjalp.
🙂
Svar
Hvis du vil bære med mig, vil jeg overvej dette spørgsmål i omvendt retning.
Antag at en cirkel og en ellipse har lige store arealer.
Mit spørgsmål er “Har de de samme perimetre?”
(Bemærk at når a = b = r er formlen den samme som cirkelområdet.)
Omkredsen af en cirkel er 2πr
En ellipses omkreds er meget vanskelig at beregne!
Folk har forsøgt at finde formler for at finde omkredsen af en ellipse, men de fleste forsøg er kun tilnærmelser.
Nogle metoder involverer endda opsummering af uendelige serier!
Den berømte indiske matematiker Ramanujan udarbejdede en meget god formel, som er ret nøjagtig.
Bemærk at hvis a = b = r så bliver ellipsen en cirkel og ovenstående formel ændres til formel for cirkelens omkreds C = 2πr .
Hvis vi erstatter dette i hans formel, får vi:
\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_
Lad os overveje et bestemt eksempel, hvor cirklen har en radius på 6 cm og en ellipse har hovedakse 9 cm og mindre akse 4 cm.
Cirkelareal = π × 6 × 6 = 36π sq cm
Areal af ellipse = π × 9 × 4 = 36π sq cm
—————————————————— ——————————
Cirkelens omkreds = 2πr = 12π cm
Ellipsens omkreds ved hjælp af Ramanujans formel er:
————————————————————————————————— ————
Konklusion, hvis cirklen og ellipsen har samme område, så har ellipsen en større omkreds end cirkel .