Bedste svar
Der er et par måder at løse en kvadratisk ligning på. Du kan bruge funktionen Add-In solver. Jeg er ikke alt for fortrolig med, hvordan det fungerer, men det er et forslag til dig.
Andre måder, som jeg er fortrolig med, er at oprette en tabel eller tegne den.
Antag, at vi har simpel ligning: 0 = x ^ 2 + 7x + 10. Nu ved vi, at hvis vi faktorerer dette, får vi (x + 5) (x + 2) = 0, betyder det x = -2, -5. Men på samme tid kan vi bruge dette som en guide til at se, hvordan vi kan kontrollere vores løsning i Excel.
Den første ting, vi kan gøre, er at oprette en Excel-tabel. Hvad jeg kan lide at gøre er at oprette en Excel-tabel. Jeg har x-værdierne i det venstre område fra -50 til 50. Derefter kan jeg bare tilslutte ligningen som sådan:
= [@x]*[@x] + 7*[@x] + 10
eller
=power([@x],2) + 7*[@x] + 10
[@x] dybest set er cellehenvisningen for x-værdierne i kolonnen (jeg giver dig et billede af, hvordan dette fungerer kort tid).
Hvis du ser på ligningen, vi fik tidligere, 0 = x ^ 2 + 7x + 10. Hvad dette betyder er, at vi indstiller y = 0 (fordi hele ligningen er y). Dette betyder, med hensyn til Excel-tabellen, skal vi kigge efter x-værdier i venstre side, der vil have en 0 næste tot-kant i y-kolonnen. Overhold nedenfor:
Hvis du bemærker, har vi to værdier, der har et nul ud for dem, -2 og -5. Disse er ligningens løsninger.
Et andet eksempel ville være at tegne din ligning. Her kan vi bruge vores Excel-tabel som seriedata til at plotte punkterne.
At plotte punkterne på grafen gør det ikke tydeligt med det samme. Så du bliver muligvis nødt til at justere minimum og maksimum for akser. På min graf justerede jeg x-aksen, så de spænder fra -10 til 5, og y-aksen fra -10 til 10.
Hvis du bemærker, krydser grafen x = -2 og krydser omkring x = -5. Så vi var også i stand til at løse ligningen grafisk.
Svar
Jeg tager det hårdt, du mener svært at faktorisere. Lad os overveje et generelt udtryk for ax ^ 2 + bx + c.
For at løse dette sætter vi dette lig med 0, og så får vi ax ^ 2 + bx + c = 0. Find x er din pligt.
Gud, det ville virkelig være nyttigt, hvis der var en simpel løsning, der fungerede for generelle koefficienter. Heldig for os er der, og det er noget let at finde (prøv ikke at gøre dette med kubiske ligninger eller derover, du kan prøve at finde det, men det er MEGET svært at finde på dette niveau).
Så vi vil tænke grundigt over dette. Hvad er problemet med at løse for x her?
I en normal lineær ligning, som ax + b = 0, er det let. x er en forekomst. Problemet med kvadratik er, at det irriterende ax ^ 2 + bx-format, da vores strategi om at trække en konstant ud og dividere for at få x ikke fungerer, har vi det at blive manglet, og vi kan ikke let bruge factoring, da der vil altid være et x underskud på et, hvis vi forsøger at udregne med x eller x ^ 2.
Nå fanden, hvad gør vi her så? Vi har en firkantet del, det må betyde, at vi på en eller anden måde skal få noget i firkant, som (?) ^ 2 = gx ^ 2 + hx + e, hvor vi senere kan tilføje som f for at være en konstant, som vi let kan trække ud som vores lineært ligningseksempel. Det er klart, at? skal indeholde en ental x et eller andet sted, men vi skal også tilføje en konstant til x-delen, da fordelingsegenskaben vil sammenklæde konstanten med x, og gøre det så godt med x og sig selv, og en konstant, der skaber en ental x uden eksponent. Vi vil så være i stand til at kvadratrode de konstanter, vi har på den anden side, og derefter løse det som en lineær ligning.
Så lad os komme i den nævnte position.
Lad os deler vores oprindelige ligning begge sider med a, så jeg kan få en ren x ^ 2 og ikke behøver at bruge \ sqrt {a} som en koefficient, der bliver mere kompliceret.
Vi får x ^ 2 + \ frac {b} {a} x + c / a = 0.
Okay, så vores form for? skal være x + k, da der ikke kan være en koefficient på x, der ikke er en, da distribution ikke ville give et rent x ^ 2. Hvad er k da? Lad os tænke lidt her – vi vil tvinge på en måde for at få hx = \ frac {b} {a} x. Når jeg kvadrerer noget, og det tilføjes to udtryk, skal jeg bruge distribution til at gå stykkevis. Da jeg kvadrerer det, multiplicerer jeg denne størrelse (de to termer, der summeres) af sig selv, vil jeg som nævnt få x ^ 2 fra x-udtrykket, en konstant fra k-udtrykket, men også kx ved at gå igennem k i den første størrelse multiplicerer x i den anden, og x og k den anden vej, men jeg tilføjer disse for at få 2kx. [for at se dette skal du skrive (x + k) (x + k), fordele for at få (x + k) x + (x + k) k. Fordel det nu ud og tegn stierne for at få x ^ 2 + kx + kx + k ^ 2, hvilket giver x ^ 2 + 2kx + k ^ 2]
Så uanset hvad denne k er vi bliver 2kx = \ frac {b} {a} x, men det betyder k = \ frac {b} {2a}. Ok, NU kommer vi et sted.Husk det faktum, at vi kvadrerer, nogle (x + k) ^ 2, og når jeg udvider dette get (x + k) (x + k), vil jeg følge en multiplikationssti ved distribution. En sådan vej, jeg skal følge, er k gange k, men vi ved allerede, hvad k er, så vi skal have noget konstant k ^ 2 = \ frac {b ^ 2} {4a ^ 2}. Så lad os bare tilføje det til begge sider, hvilket vi kan gøre, da det er konstant, og vi er ligeglad med, hvilken konstant vi får på den anden side, vi vil bare faktorere dette rod ordentligt.
Så vi gør netop det og får
x ^ 2 + \ frac {b} {a} x + \ frac {b ^ 2} {4a ^ 2} + c / a = \ frac {b ^ 2} {4a ^ 2}
Og nu har vi alle de termer, der giver os mulighed for at faktorere dette til et (x + k) ^ 2 = Konstant format, lige hvad vi ønskede! Vi fandt k at være \ frac {b} {2a}, så vi bare faktorere dette ud.
(x + \ frac {b} {2a}) ^ 2 + c / a = \ frac {b ^ 2} {4a ^ 2}
Nu vil vi smukke dette rod, bemærke at vi til sidst vil kvadratrode, når vi trækker konstanterne ud, og vi har på et sigt en nævneren på 4a ^ 2, som er meget let firkantet. Lad os gøre c / a kompatibel med dette ved at gange det med 1, der ikke ændrer noget, men 1 = 4a / 4a. Vi behøver ikke bekymre os om a = 0, da hvis det var, ville vi have en lineær ligning, hvilket ikke er det, vi er fokuseret på.
Så vi får (x + \ frac {b } {2a}) ^ 2 + 4ac / 4a ^ 2 = \ frac {b ^ 2} {4a ^ 2}
Fantastisk, så træk nu den anden sigt ud, da de har fællesnævnere, og vi få
(x + \ frac {b} {2a}) ^ 2 = \ frac {b ^ 2-4ac} {4a ^ 2}
Og højre side er konstant nu , vi kan nemt rodfeste begge sider!
Vi får
x + \ frac {b} {2a} = \ frac {\ sqrt {b ^ 2-4ac}} {2a }
Dette er ikke helt korrekt, da vi er nødt til at indse, at når jeg kvadratroder et positivt tal, kan d ^ 2, d være positivt eller negativt. Så med god tilføjelse tilføjer vi et plus- eller minustegn, og vi får
x + \ frac {b} {2a} = \ frac {\ pm \ sqrt {b ^ 2-4ac}} { 2a}
Og vi kan nu trække det k ud, da vi nu har en lineær ligning at løse, som vi ønskede, og vi får
x = \ frac {-b \ pm \ sqrt {b ^ 2-4ac}} {2a}